改进的格拉姆-施密特正交化方法区别在于下图标注黄色底色部分,这样操作代表在内层循环中每次(除了第一次)使用的向量v并非取自于原来的矩阵A的向量,而是使用的经过变换后的v,这样可以减少累计误差,请看第3部分的详解。 % 改进的格拉姆-施密特...
格拉姆-施密特QR分解 定理 若A为一秩为n的m×n矩阵,则A可分解为乘积QR,其中Q为一各列向量正交的m×n矩阵,且R为一n×n上三角矩阵,其对角线元素均为正(显然R是非奇异的) 个人认为,QR分解就是利用施密特正交化过程得到的分解,类似通过高斯消元得到LU分解一样。 令p1,···,pn−1为施密特正交化得到的投...
a和b是A的列空间的一组基,但这组基“不够好”,我们还想进一步让这组基的向量两两正交,并且都是单位向量,这就得到了q1和q2。 格拉姆-施密特表达 如同A = LU一样,A可以分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积,A = QR,这里A是原始矩阵,各列线性无关,Q是标准正交矩阵,R是上三角矩阵。 假设原始矩阵A...
格拉姆施密特正交化公式 格拉姆斯密特正交化是一种线性代数中常用的方法,可以将一组线性无关的向量组正交化,从而得到一组正交的向量组。 设有一组线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn},格拉姆斯密特正交化可通过以下公式来计算正交向量组{u1, u2, ..., un}: u1 = v1 u2 = v2 - Proj(v2, u1) u3 ...
一、格拉姆-施密特正交化 上一篇中我们讲到,一组规范正交基可以大大简化最小二乘问题的求解过程;但是,在某个内积空间中找到一组规范正交基并不一定是容易的。在欧几里得向量空间 Rn 中,我们容易发现标准基 {e1,e2,…,en} 是一组单位正交基;而对于定义了内积 ⟨p,q⟩=∫01p(x)q(x)dx 的多项式空间 P2...
在线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名,然而比他们更早的拉普...
这也是很重要的一个式子:如果已知标准正交基,在第i个基方向上的投影就等于qiTb 格拉姆-施密特正交化 既然正交化这么好,有没有什么方法能使矩阵标准正交化呢?当然有,这就是格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)正交化。 假设有两个线性无关的向量a和b,现在标准正交化这两个向量,让它们变成q1和q2。首先保持a不变让向量...
格拉姆-施密特正交化是一种数学方法,用于将线性无关的向量组转换为正交向量组。这个方法在函数空间、量子力学、数值分析等领域都有应用。格拉姆-施密特正交化的基本步骤如下:1. 选择线性无关的向量组作为初始向量组。2. 从初始向量组中选取一个向量作为正交化过程的第一步
格拉姆施密特正交化是矩阵变换的一种方法，主要用于将原始矩阵中的列向量转换成正交向量。具体操作过程是：首先对第一个列向量进行归一化处理。接着，对于后续的每一个列向量，计算它与已得到的正交向量集合的投影，然后从原向量中减去这些投影的和，最终得到新的正交向量。这一过程结合矩阵运算与向量投影...