理想互素 素理想和极大理想 素理想和极大理想在特殊环上的应用 整数环 多项式环 参考 【抽象代数】§ 2.1 环的定义、零因子、整环、除环、域及其概念之间的剖析 【抽象代数】§ 2.2 同态、子环、理想、商环、同态基本定理 (qq.com) 本文参考Algebra:Chapter0,所以不可避免地会进行中英的混杂,一些定义、命题的...
Pf.设I\ne(1)=A为A的任一真理想,则I中含有非单位元,根据\mathfrak{m}的性质必有I\subset \mathfrak{m};特别地取I=\mathfrak{m}'为极大理想可知\mathfrak{m}'=\mathfrak{m},因此A为局部环 (2)设\mathfrak{m}为极大理想,如果任一1+\mathfrak{m}中的元素均为A中单位,则A为局部环,\mathfrak{...
1. 在有理数域中，极大理想的存在性是数学上一个深入研究的话题。极大理想指的是一个理想，它是该域中理想的最大可能集合，满足特定的数学性质。2. 有理数域包含所有整数、分数以及它们的加减乘除运算结果。这些数包括正数、负数以及零。在有理数域中，每一个理想都是某个整数的倍数集合，而极大理...
定理2. 设是交换环,为的极大理想,当且仅当是域。 证明:是域,则是的极大理想,设是中包含的极大理想,则是的理想,故,故,或,故是极大理想。 设是极大理想,故是域,是自然同态,对于的任意理想,必然存在包含的中的理想,使得,此时由极大可推出或,故或,故是的极大理想,那...
的所有理想,而包含 即代表包含所有整数,故所以大于该主理想的理想均等于整数环。 例3若是域,则是唯一的极大理想。 这是因为是域,所以任何含有非零元的理想因为而一定包含乘法单位元,于是由可知的一切元素均属于,故是极大理想,并且因为理想一定包含加法单位元,故是唯一的极大理想。
极大理想的定义如下: 设R是一个环,I是R的一个真理想(即I是R的子集,且满足理想的定义,但I不等于R本身)。若不存在R的理想J,使得I⊂J⊂R(即I不是任何其他非平凡R理想的真子集),则称I是R的一个极大理想。 换句话说,如果除了R和I本身以外,R中没有其他理想能真正包含I,那么I就是R的一个极大理想。
介绍的理想应该是“极大理想”,而不该是“最大理想”。“最 大”和“极大”是两个不同的概念,“最大”是比谁都大的 意思,而“极大”是没有谁比它大。“最大”的至多只能有 一个,而“极大”却可以有很多。本讲中所以研究极大理想, 其目的欲通过极大理想来就得的域的方法。设I为环R的理 想,那么剩余类...
既然极大理想和素理想都是由素数推广而来的,那么它们有什么关系呢?首先,在一个交换幺环中,极大理想一定是素理想,因为我们知道一个理想是素理想当且仅当商群是一个整环,而一个理想是极大理想当且仅当商环是一个域,而域一定是整环,所以极大理想一定是素理想。
极大理想一定是素理想（2.3节中会讲解）。但是只有在蓝色区域内，素理想才是极大理想。一、定义 1.1 定义1 整环 无零因子交换幺环被称为整环。这一概念源于对整数环的推广，所以整数环是整环，还有域上一元多项式环，整数上一元多项式环...注：下面第二节定理中的环只需是交换幺环，不一定无零因...
在交换环中,讨论极大理想和可逆元是环论中的基本概念。 极大理想: 定义:设 R 是一个环,I 是 R 的一个真理想,如果对于 R 中的任何真理想 J,都有 I⊆J 或 J = R,则称 I 是 R 的一个极大理想。 性质:极大理想是真理想的极大元,不包含于其他真理想。 可逆元: 定义:在环 R 中,如果存在元素 a...