3.1 广义朗之万方程 其中花粉颗粒的坐标记为 \boldsymbol{x}(t) ,环境中微粒的坐标记为 \boldsymbol{y}_i(t) 。整个系统的哈密顿量可以写为: \begin{aligned} \mathscr{H}_{tot}=\mathscr{H}_0(\boldsymbol{x})+\mathscr{H}_1+\mathscr{H}_2(\boldsymbol{y}_1,\cdots,\boldsymbol{y}_N)...
1. 标准化学朗之万方程回顾 对于一个具有M个反应和N个物种的化学系统,标准的化学朗之万方程描述了系统状态Xi的时间演化,其表达式为 dXi=∑j=1Mvjiaj(X)dt+∑j=1Mvjiaj1/2(X)dWj,(i=1,⋯,N). 其中: Xi表示第i个物种的数量或浓度, vji是反应j对物种i的贡献(反应计数矩阵), aj(X)是描述反应j...
将小批量梯度下降迭代的表达式与朗之万方程进行比较，我们可以立即注意到它们的相似性。更准确地说，它们通过以下方式变得相同：用γ代入δt，我们发现：因此，SGD或小批量梯度下降算法形式上类似于朗之万过程，这就解释了为什么如果学习率按照前面提到的协议变化，它们有非常高的概率选择全局最小值。这个结果并不新鲜。
朗之万方程（Langevin equation）描述了布朗运动（Brownian motion）中微粒在液体或气体中受到的随机力作用。它是一种随机微分方程，通常用于建立统计物理和随机过程的数学模型。朗之万方程的一般形式如下：m * dV/dt = -γ * V + √(2 * D * γ) * η(t)其中：- m是微粒的质量；- V是微粒的速度；- ...
朗之万方程朗之萬方程(Langevin’s equation)描述布朗運動 粘滯阻力仍來自介質分子對顆粒的碰撞,將顆粒看作半徑為a的小球,在粘滯系數為η的流體中運動,則有 上式稱為斯托克斯公式(stokes’s law)。 當不存在其它外力時F’(t)=0,朗之萬方程為 將上式對大量顆粒子求平均,即把大群顆的運動方程相加然後用顆粒...
用这种方式表示,朗之万方程描述了经历布朗运动的粒子的增量位移。 布朗运动的Python代码 为了模拟二维离散布朗过程,采用了两种一维过程。步骤如下: 首先,选择时间步数“steps”。 坐标x和y是随机跳跃的累积和(函数np.cumsum()用于计算它们)。...
广义的朗之万方程是可以描述自由度的一个子集(如位置和动量)的时间演化的随机微分方程。这些自由度通常是宏观的变量,相比该系统的其他微观的变量(如随机力或噪声项)变化缓慢。这些微观的变量体现出朗之万方程的随机性质。 简史 1905年,A.爱因斯坦根据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论,给出了扩散长度公式,即布朗...
朗之万方程 朗之万也认为布朗运动是由介质分子对布朗粒子的随机碰撞引起的,他在研究布朗运动时引入了涨落力的概念。为了简单,只考虑布朗粒子在x轴上投影的变化,而且只考虑分子对它的碰撞而不考虑重力等其他作用的影响。 介质分子对粒子的作用力可分为两个部分。一部分是黏性阻力,它与相对于介质的运动速度v成正比(...
朗之万方程朗之萬方程(Langevin’s equation)描述布朗運動 粘滯阻力仍來自介質分子對顆粒的碰撞,將顆粒看作半徑為a的小球,在粘滯系數為η的流體中運動,則有 上式稱為斯托克斯公式(stokes’s law)。 當不存在其它外力時F’(t)=0,朗之萬方程為 將上式對大量顆粒子求平均,即把大群顆的運動方程相加然後用顆粒...
朗之万方程 在统计物理中, 朗之万公式(保罗·朗之万,1908年) 是一个描述自由度的子集的时间演化的随机微分方程。 这些自由度,通常是那些在与系统的其他(微观的)变量相比,变化较缓慢的集体(宏观的)变量。 快速变化(微观)的变量导致了朗之万公式的随机性。 原朗之万公式描述了布朗运动,因受到流体分子的碰撞,...