定理：若 和 都是代数扩张，那么它们的复合扩张 也是代数的。证明：设 为代数扩张。由于 是代数的，因此它在 上的极小多项式存在。由于极小多项式的系数都是代数元素，而代数扩张的有限生成性意味着这些系数都可以由某个单一代数元素生成。因此，是一个有限生成的 -代数。根据诺特正规化引理，它是一个有限 -模块。
Galois扩张如果域扩张 K/F 是有限可分的正规扩张,称 K/F 为有限Galois扩张,它是代数扩张。 K/F 是有限Galois扩张的一个等价定义是, K 是F 上某个可分多项式在 F 上的分裂域。另一个等价条件是, |\operatorname{Gal}(K/F)|=[K:F]。 13.4 完全域 完全域如果对于一个域 F 满足F[x] 上每个不可约...
接下来的定理告诉我们OF有一个不太大的PID扩张,单位群至少仍然是f.g.的。 F是数域,OF为整数环,∃R,OF⊂R⊂F为主理想环,且R×有限生成。 设#CF=h,并选取一个代表元集合{Ij}j=1h(均是整理想),取0≠uj∈Ij,令u=∏uj 选取R=OF,u,R中的理想都是OF中理想的局部化,考虑J=S−1I ...
有限扩张是可分扩张的一个特例，且特征为ℤ的域的有限扩张都是可分扩张。完全域是指每个不可约多项式都是可分的域。特征为素数ℤ的域都是完全域。一个特征为ℤ的域是完全域当且仅当每个元素在域中都有ℤ次方根。完全域上的代数扩张仍然是完全域。理解正规扩张与可分...
抽象代数基础篇(13) 有限域、可分扩张与域嵌入、完全域 背景:Galois一生中最重要的成就是提出了一元五次以上的方程没有根式解,提出了“群”、“域”等概念,开启了现代数学的大门。 今天我们继续介绍抽象代数基础篇中的有限域、可分扩张与域...