尽管Haken 流形算是有了一个分类定理了 , 不过双曲结构的存在性也还是很重要的 , 有了这个结果3维的拓扑学大大地向前迈了一步 . 对于 Seifert 流形 , 我们有六种几何学结构 , 而且圆周上的环面丛又有一种几何结构 , 这样一来3维的情形我们一共有八种几何 . Thurston 根据他的定理提出了一个猜想 , 即对...
在构建和优化模型时,将拓扑、几何和代数结构结合起来,使得模型能够在处理复杂数据时,充分利用这些结构的优势: 拓扑优化:使用图卷积网络(Graph Convolutional Networks, GCNs)和拓扑数据分析(Topological Data Analysis, TDA)方法,捕捉数据中的全局结构和连通性。 几何优化:使用流形学习和黎曼几何优化方法,捕捉数据的局部几...
拓扑几何,这个听起来有点高深的数学分支,实际上在我们的日常生活中有着广泛的应用。尤其是在建筑设计中,它为设计师们提供了无尽的创意空间。拓扑几何主要研究的是形状的不变性,也就是所谓的“拓扑等价”。简单来说,无论你是把一个圆变成一个方形,还是把一个三角形变成一个五边形,只要不破坏它们的拓扑结构,它们在...
拓扑很粗略地说就是研究集合的“大致”形状。几何很粗略地说是研究集合的“具体”形状。代数拓扑和代数几何都是几何里的内容,都是研究集合的形状。代数拓扑关注集合(流形,复形)的拓扑结构。通过代数,比如上下同调,基础群等等研究集合的拓扑性质。代数几何研究某一类集合(代数簇)的几何和拓扑性质。由于代数簇是方程的...
拓扑学家可以自由地拉伸和扭转形状。允许剪切和粘接。球体和立方体是截然不同的几何物体，但对拓扑学家来说，它们是无法区分的。如果你想从数学上证明T恤和裤子是不同的，你应该去找拓扑学家，而不是几何学家。解释是，它们有不同数量的洞！莱昂哈德·欧拉在18世纪开始了对形状的拓扑学研究。你可能会认为，到那时...
文章回顾了电子的拓扑几何理论发展的初期,大约二十多年的历史。首先介绍拓扑陈数在凝聚态物理中的两个重要应用。其一关于量子霍尔效应,绝缘条件下霍尔电导可以写成一个陈数拓扑不变量,从而解释实验结果的精确量子化。其二关于绝热泵浦,它描述布洛赫能带的绝热电流响应,与电子极化有密切...
几何拓扑研究的是空间的性质,其中最基本的概念之一是拓扑空间。拓扑空间是一个可以通过拓扑结构来描述的集合,它可以包含点、线、面以及更高维度的形式。拓扑学家研究的是这些空间在连续变换下的不变性质,例如拓扑等价、连通性、紧致性等。 拓扑等价是指两个空间可以通过连续变换相互转换,而保持空间的关键性质不变。例...
拓扑学中的一个重要概念是拓扑同胚。如果两个拓扑空间存在一个一一映射,并且这个映射及其逆映射在两个空间之间保持开集的性质,那么我们称这两个空间是拓扑同胚的,它们在拓扑上是完全相同的。 二、几何学的基本概念 几何学研究的是空间的形状和度量。在几何学中,最基本的概念是欧氏空间,即在空间中引入坐标系和度量,...
1 Geom3D 分子的几何表征 benchmark 该研究以《Symmetry-Informed Geometric Representation for Molecules, Proteins, and Crystalline Materials》为题，发表在arXiv上。论文链接：https://arxiv.org/abs/2306.09375 从数据结构上，分子的本质（稳定态）是一个结构稳定的 3D 点云。他的表征主要挑战就是如何保证对于...
直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这也是拓扑性质。 图二 上面这组图一共有三对,分上中下来叙述。拿上面(1)这对来说,如果点P是l线上的一点,那么经过拓扑变换后,P的象P'仍是l的象l’上的一点。 中间(2)这对图说明,如果A、B、C是1线上有顺序的三点,经过拓扑变换后,它们的象A...