James Stewart《微积分》笔记·14.6 Directional Derivatives and the Gradient Vector(方向导数和梯度向量) JackLin Lūcem sequor. 20 人赞同了该文章 一、方向导数 对于函数 z=f(x,y) ,其偏导数 fx 和fy 分别被定义为 fx(x0,y0)=limh→0f(x0+h,y0)−f(x0,y0)h, fy(x0,y0)=limh→0f(x0,...
首发于James Stewart《微积分》笔记 切换模式写文章 登录/注册 James Stewart《微积分》笔记·13.3 Arc Length and Curvature(弧长和曲率) JackLin Lūcem sequor.21 人赞同了该文章 一、向量函数曲线的弧长 设曲线对应的向量方程为 r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩, a≤t≤b (等价于参数方程 x=f(t), ...
James Stewart《微积分》笔记·9.1 Modeling with Differential Equations(微分方程模型) 一、微分方程 包含未知函数及其导函数的一个方程叫做微分方程. 研究微分方程具有很强的实际意义. 在实际问题中,我们经常关注事物发生的变化,并基于其实时变化的情况进行预测. 二、人口增长模型 △ 一种人口增长模型是基于人口按其...
在线积分的世界里，曲线不再是静止的，而成为动态的载体，每一微小的点都蕴含着函数值与路径长度的乘积。当我们沿着曲线 C 计算这个积分，就如同在给定的区域内描绘出一个由函数值定义的立体图，每一处的体积是函数值乘以弧长的贡献（∫f dr，其中 f 是定义在 C 上的连续函数）。线积分的公式，如...
James Stewart《微积分》笔记·17.1 Second-Order Differential Equations（二阶微分方程）概述二阶常系数齐次线性微分方程是形如[公式]的方程，其中[公式]，[公式]，[公式]和[公式]为连续函数。对于这类方程，当[公式]和[公式]时，它们是齐次的，而非齐次方程需参考17.2节。二阶齐次线性微分方程的...
具体来说，当两阶线相切时，对应的梯度向量平行，从而得出拉格朗日乘子的存在，进而求解函数的极值。扩展至三变量函数的情形，这一概念同样适用。对于受制于约束 [公式] 的三变量函数 [公式] ，最大值对应于其阶面 [公式] 与目标函数 [公式] 的相切点。这一结论的精确推导基于函数在曲面上的极值性质...
James Stewart的《微积分》笔记中详细阐述了极坐标下面积和长度的计算方法。首先，极坐标下的面积可以通过扇形面积公式估算，将区域划分为小扇形并累积其面积，当细分足够多时，黎曼和的概念得以体现，最终得到面积公式[公式]。举例来说，四叶玫瑰的面积可通过旋转射线扫过的面积计算，心形线的面积则需要解决...
James Stewart是一位数学匠人,他花费近 7 年时间写出这本他理想中的微积分教材《Calculus》,起因竟然是学生在课间无意中跟他说的一句话:“Stewart博士,我们希望你能写一本微积分教材,因为我们觉得你的讲座比我们用的书好太多了。” 一年365天,他在教学和科研任务的间隙中穿插写作,有时每天会花上十几个小时,飞机...
b]上的一个反导数，那么F(x)可以表示为F(x) = f(x) * x + C，其中C是任意常数。例如，如上图所示，函数f(x) = 2x的反导数为F(x) = x^2 + C。这意味着对于任何x值，函数f(x)的导数都等于F(x)。注意：下表中箭头左侧的表达式为原始函数，右侧为它们的反导数（不包括常数C）。
接下来是几个应用实例，包括计算麦克劳林级数、确定收敛半径，以及处理乘法、除法和积分等问题。例如，通过例题，我们求解了函数 [formula] 和 [formula] 的麦克劳林级数，以及级数的收敛性和特定项。还涉及到了二项式级数的特性和应用，以及如何通过逐项积分处理积分问题.总结来说，本节主要介绍了幂级数的...