直到1735年，瑞士数学家欧拉通过精确的计算，终于找到了巴塞尔问题的解。他发现这个级数的和可以用所有平方数的倒数之和来表示，即1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = π²/6。这个惊人的结果给数学界带来了震撼，成为了巴塞尔问题的突破性发现。3. 理论与实践的结合 欧拉的解法既具有理论的深度又具备实践的可行
巴塞尔问题是一个著名的数论问题,这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出,由欧拉在1735年解决.由于这个问题难倒了以前许多的数学家,欧拉一解出这个问题,马上就出名了,当时他28岁.这个问题是精确计算所有平方数倒数的和,也就是以下级数的和.巴塞尔问题是寻找这个数的准确值,欧拉发现的准确值是.不过遗憾的是:若把...
巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法——怎么计算\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots112+122+132+⋯ ? (PS:本文会不断更新) \newcommand\R{\operatorname{Res}} 如何计算\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdotsζ(2)=112+122+132+⋯?
初三党搞积日常(2)——从复变角度解决巴塞尔问题(The Basel Problem) Aries 巴塞尔问题(Basel problem)的欧拉证明、傅里叶级数证明。 欧拉证明巴塞尔问题是计算全体平方数的倒数和,即无穷级数 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} 将 \mathrm{sinx} 泰勒级数展开: \mathrm{sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\fr...
巴塞尔问题（自然数平方的倒数之和）：这是有史以来最短的证明 巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，有欧拉在1735年解决，这个问题就是计算：自然数平方的倒数之和是否收敛，关于这个问题的证明非常多，但数学家Samuel G. Moreno给出了一个非常简短的证明，今天我们就一起来...
当然,这个证明相当粗劣、感性并且不够严谨,但是感性的理解足以让我们体会到巴塞尔问题的巧妙 1 问题的转化 我们可以看到这个标准的代数式上面竟然出现了π,那么说明我们肯定需要转化到几何学的角度上进行分析 故事要从光开始说起。 给出一个很长很长无限长的数轴,我们的眼睛在原点向正方向远眺。
二,巴塞尔问题证明 正弦函数泰勒展开式 我们知道,的全部实数根是,也即是所以可以写成 两边同时除以得到 另一方面,我们也将正弦函数的泰勒展开式两边同时除以,得到 由(1) (2)可得 将代入上式可得 即 代入(1)可得 比较(2)和(3)这两个多项式的项系数...
巴塞尔问题的目标是求无穷级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 的和。该问题由欧拉在18世纪解决,他通过创新的方法,将级数与三角函数(如正弦函数)的泰勒展开和根的分解联系起来。 欧拉的关键思路是将 \( \frac{\sin x}{x} \) 的泰勒展开与多项式根的性质结合。令 \( \frac{\sin x...
巴塞尔问题的23种证法 代数龙摘抄 高三复习用书推荐(我们团队编写)
即由巴塞尔问题的研究结果可知:GH=π^2/6。 接下来我们仍需讨论类似巴塞尔问题的一系列级数有关的问题。 给定两个调和级数: S₁=1+1/2+...+1/n S₂=1+1/2+...+1/n 将S₁与S₂按多项式相乘=1*1+1*(1/2)+1*(1/3)+...+1*(1/n) ...