②当a≤1/2时,h′(x)=(a^2x+2a)e^(ax)-e^x≤(1/2x+1)e^(1/2x)-e^x,令m(t)=1+t-et(t>0),则m′(t)=1-et<0,∴m(t)在(0,+∞)上单调递减,∴m(t)<m(0)=0,即1+t<et,∴1+1/2x<e^(1/2x),则(1/2x+1)e^(1/2x)<e^x,∴h′(x)≤(...
已知函数f(x)=xex,g(x)=xlnx,若存在正实数x1,x2,使f(x1)=g(x2)=t成立,则((x_1^2x_2^2))/((2(e^t)))的最大值是(注
(x)的单调增区间是(-∞,-lna),减区间是(-lna,+∞);∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:(i)f(-lna)>0,(ii)存在s1∈(-∞,-lna),满足f(s1)<0,(iii)存在s2∈(-lna,+∞),满足f(s2)<0;由f(-lna)>0,即-lna-1>0,解得0<a<e-1;取s1=0,满足s1∈(-∞,-lna),且f(s1)=...
解答:解:(1)∵f(x)=xex ∴f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e,又f(1)=e, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0. (2)∵任意x∈R,f(x)>m恒成立, ∴只要f(x)min>m即可, 令f′(x)>0⇒x>-1,即函数f(x)的单调递增区间是(-1,+∞); ...
18.已知函数f=xex.若对任意x1∈[0.1]存在x2∈[-1.1].使f成立.则实数a的取值范围为[2-e.$\frac{1}{e}$].
已知函数f(x)=xeax.(其中常数e=2.71828…,是自然对数的底数)(1)求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,若f(x)−lnx−bx⩾1恒成立,求实数b的
所以r(t)≤r(0)=0,所以1+t≤et,所以1/2x+1≤(e^(1/2x)),所以g'(x)=(e^(ax))(ax+1)-(e^x)≤(1/2x+1)(e^(1/2x))-(e^x)≤(e^(1/2x))⋅(e^(1/2x))-(e^x)=0,满足题意,所以实数a的取值范围为(-∞,1/2](3)证明:令s(t)=t-1/t-2lnt(t>1),则s'(...
(1)f(x)=xex的导数为f′(x)=(x+1)ex;(2)图象在点x=1处的切线斜率为k=2e,切点为(1,e),即有图象在点x=1处的切线方程为y-e=2e(x-1),即为2ex-y-e=0. (1)运用乘积的导数,即可得到;(2)求得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到所求切线的方程. 本题考点:利用导数研究曲线上某点切线...
(2)证明:若函数f(x)有两个零点,则f(1a1aln1a1a)=1a1aln1a1a-1a1a>0,即a<1e1e, 而此时,f(1a1a)=1a1a-e>0,由此可得x1<1a1a<1a1aln1a1a<x2, 故x2-x1>1a1aln1a1a-1a1a,即x1-x2<1a1a(1-ln1a1a), 又∵f(x1)=x1-eax1=0,f(x2)=x2-eax2=0, ...
若a<0,由f′(x)>0得x<-1,即函数的单调递增区间为(-∞,-1), 由f′(x)<0,得x>-1,即函数的单调递减区间为(-1,+∞); (Ⅱ)当a=1时,由(1)得函数的单调递增区间为(-1,+∞),函数的单调递减区间为(-∞,-1), 即当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=-1e1e,无极小值; ...