对偶范数(共轭范数)是向量范数的一种,衡量向量所有子空间中值的最大值,通常用于解决优化问题中的不同约束条件,计算方法为∥x∥∗=max_
一、对偶范数的定义: 1、范数 ||x||的对偶范数:sup{zTx | ||z||≤1}=sup||z||≤1zTx。 含义:对于范数 ||x||,其对偶范数是找到一个向量 zT, ||z||≤1,使得 zT和x的内积达到最大,这个最大的内积就是 ||x|| 的对偶范数。 等价为(优化问题): max zTx s.t. ||z||≤1 2、范数 ||...
对偶范数的计算通常依赖于具体的范数定义。常见的范数及其对偶范数的例子包括: 1. L1范数 ‖⋅‖1 的对偶范数是L∞范数 ‖⋅‖∞。 2. L2范数 ‖⋅‖2 的对偶范数是L2范数 ‖⋅‖2 自身。 3. L∞范数 ‖⋅‖∞ 的对偶范数是L1范数 ‖⋅‖1。 举例来说,假设有一个二维向量 x=[3,4] 。其...
具体来说,对于一个向量空间V中的元素x,如果存在一个线性函数f:V→R,使得对于任意y∈V都有f(y)≤1且f(x)=1,那么对于这样的线性函数f,其对偶范数就定义为∥f∥_∞=sup{f(y):y∈V且∥y∥≤1}。其中sup表示上确界。对偶范数的实际意义在于,它可以用来度量某种“最坏情况下”的试错次数,即如果我们想要...
对偶范数，亦称共轭范数，是在给定范数基础上定义的另一个范数。对于任何范数，其对偶范数通过共轭指数来确定。给定范数与对偶范数之间的关系为：对向量的对偶范数定义为内积的最大值，表达式为：具体计算依赖于特定的范数定义。例如，L1范数的对偶范数为L∞范数，L2范数的对偶范数是自身，而L∞范数的对偶...
即核范数（nuclear norm）。由此，矩阵空间与核范数间建立了联系。综上所述，对偶范数不仅在抽象的数学结构上提供了联系，而且在具体的线性代数应用中，如矩阵分析中，它与谱范数等概念相联系，提供了一种度量线性映射的手段。这种直观的几何解释有助于理解范数与对偶空间之间的深层数学关系。
对于一个n维实向量x = (x1, x2, …, xn),其对偶范数定义如下: ‖x‖q = sup{|x^T * y| / ‖y‖p}, 其中,y是一个非零实向量,p和q分别是满足1/p + 1/q = 1的正实数。 2. •对偶范数定义对于某些应用问题很重要,尤其是在数学建模、机器学习和优化领域中。它能够衡量向量与另一个向量的...
Definition 1: Dual Norm 定义对偶范数为∥x∥∗=max∥z∥≤1zTx 比方说对于一般的lp(p≥1) 范数∥x∥p=(n∑i=1|xi|p)1/p ,它的对偶范数就是lq 范数。这个性质的证明其实利用的就是赫尔德(Holder)不等式,是数学分析的一道经典习题。但证明它不是我们这一节要关注的内容,所以我们就不提这个证明了。
Python计算对偶范数 什么是对偶范数? 在线性代数中,对偶范数(也称为共轭范数)是向量范数的一种,它衡量了向量的所有子空间中的值的最大值。对偶范数通常用于解决优化问题中的不同约束条件。 对于一个向量x∈Rnx∈Rn,它的对偶范数∥x∥∗∥x∥∗可以通过以下公式计算得到: ...