特征向量和特征值的几何意义:若向量经过矩阵变换后保持方向不变,只是进行长度上的伸缩,那么该向量是矩阵的特征向量,伸缩倍数是特征值。 3. SVD分解推导 我们考虑了当基向量是对称矩阵的特征向量时,矩阵变换后仍是基向量,但是,我们在实际项目中遇到的大都是行和列不相等的矩阵...
数学原理 奇异值分解(SVD)的核心在于将任意矩阵分解为三个特定矩阵的乘积,揭示出矩阵的深层结构。这一分解不仅是理论上优雅的,而且在实际应用中非常有用。我们先来看看SVD的基本公式,然后通过一个例子来演示奇异值的计算过程。 基本公式 对于任意的 m×n 矩阵 A,SVD 分解为: A = UΣV^(*) 其中: U 是一个...
在这样的协方差矩阵上求解特征值,耗费的计算量程平方级增长。面对这样一个难点,从而引出奇异值分解(SVD),利用SVD不仅可以解出PCA的解,而且无需大的计算量。 奇异值分解(singular value decomposition) SVD的基本公式:A=UΣV⊤ 其中, A∈Rm∗n, U∈Rm∗m, Σ∈Rm∗n 且除了主对角线上的元素以外全...
Sigma 对角矩阵是按奇异值向量的形式返回的。V 矩阵是以转置后的形式返回的,比如 V.T. 下面的示例定义了一个 3×2 矩阵并计算了奇异值分解。 运行这个示例,首先会显示定义的 3×2 矩阵,然后会显示分解计算得到的 3×3 的 U 矩阵、2 个元素的 Sigma 向量和 2×3 的 V^T 矩阵元素。 根据SVD 重建矩阵 ...
奇异值分解的数学原理是特征值分解的一个推广，本质上将一个 矩阵分解成一个“基正交正交矩阵”、一个可正交矩阵和另一个“基 正交反正交矩阵”的三元组称为“奇异值元组”。也就是把一个方阵A，分解成下面三个矩阵乘积：A = U*S*V'其中U为左奇异矩阵，S为奇异值矩阵，V'为右奇异矩阵，前后的矩阵是对称轴...
奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法,它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示,这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样,给别人描述说这个人长得浓眉大眼,方脸,络腮胡,而且带个黑框的眼镜,这样寥寥的几个特征,就让别人脑海里面就有一个较为清...
数据压缩:通过奇异值分解,选择能量较大的前N个奇异值来代替所有的数据信息,这样可以降低噪声,节省空间。 推荐系统:主要是降噪,矩阵变换至低维空间,方便计算(目前没有意识到它对推荐精确度的提升有什么具体作用)。 原理:矩阵分解,矩阵变换,数据降维 基于协同过滤的推荐系统(相关知识): ...
奇异值分解可以用来干这个事情,奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法: 假设A是一个N * M的矩阵,那么得到的U是一个N * N的方阵(里面的向量是正交的,U里面的向量称为左奇异向量),Σ是一个N * M的矩阵(除了对角线的元素都是0,对角线上的元素称为奇异值),V’(V的转置)是一个N * N...
奇异值分解(Singular Value Decomposition,以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法,有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系,它不光可以用于降维算法中的特征分解,比如做feature reduction的PCA,做数据压缩(以图像压缩为代表)的算法还可以用于推荐系统。以及自...
二、奇异值分解的原理 1.特征值分解 设A是一个n×n的矩阵,如果存在一个非零向量v和一个标量λ,使得Av=λv,则向量v是矩阵A的特征向量,λ是其对应的特征值。特征值分解即将矩阵A分解为A=SΛS^(-1),其中S是由特征向量所构成的矩阵,Λ是由特征值构成的对角矩阵。特征值分解将A的特征向量和特征值分解出来...