度量矩阵是基向量间内积形成的矩阵;标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵;两组标准正交基的度量矩阵均为单位矩阵,过渡矩阵为正交矩阵。 **概念解析** 1. **度量矩阵**:对于一组基{e₁, e₂, ..., eₙ},其度量矩阵是一个n×n矩阵,元素Gᵢⱼ为基向量eᵢ与eⱼ的内积⟨eᵢ, eⱼ⟩。 2. ...
在n维欧氏空间中,基的度量矩阵(即Gram矩阵)需满足以下条件: 1. **对称性**:由于内积的对称性(\( v_i \cdot v_j = v_j \cdot v_i \)),度量矩阵必须是对称矩阵。 2. **正定性**:基的线性无关性需求转化为度量矩阵的正定性。对于任意非零向量 \( x \in \mathbb{R}^n \),有 \( x^T G...
基的度量矩阵是描述欧氏空间基向量之间内积关系的对称矩阵,其核心作用是反映向量空间的几何结构特征。下面从定义、性质、计算方式及应用领域展开说
基的度量矩阵是一种将抽象的内积运算转化为具体的矩阵乘法的工具。以下是关于基的度量矩阵的详细理解：基的作用：基是一组线性无关的向量，它们可以线性组合成向量空间中的任何向量。引入基之后，向量就可以用相对于这组基的坐标来表示，从而将抽象的向量转化为具体的坐标。度量矩阵的定义：假设e_1, e_...
可以通过以下步骤来求得：1、定义一组基向量。2、计算基向量之间的点积，得到度量矩阵的元素。3、将计算得到的度量矩阵归一化，即每个元素都除以对应行或列元素的平方和。
解:(1)由所定义的内积空间为基域P上的不小于2次的一元多项式赋予实内积形式,由向量内积的(共轭)对称性, 得 因此,基的度量矩阵为 (2)函数向量在基下的坐标为 函数向量在基下的坐标为 故=,即函数向量在所定义的内积下正交。 (3)设线性子空间的正交补空间=,由正交补空间的定义,有=0,故得,即=其中为任意...
解析 解:因为 (α_1⋅α_1)=3 .( (α⋅α_1)=5 . (α⋅α)=6 . (α⋅α_1)=(α_2,α_1)= , (aa) (α_1⋅α_1)=(α_i,α_j)=2 (α⋅α)=-3 . 所以这组基的度量矩阵为: 3 2 1 5 3 2-3 6 反馈 收藏 ...
这是标准的证明。如果是按Rn空间的标准内积下的定义就比较好证了
首先你得理解基的作用。一般的向量是比较抽象和绝对的概念，引入了基之后向量就可以用相对于这组基的坐标来表示，这样就把抽象的向量转化到具体的坐标（也就是一组数）。在有了基之后抽象的线性变换也就可以用具体的矩阵来描述了。这里的道理是一样的，用Gram矩阵可以把抽象的内积转化到一组具体的数。
它与所选的一组基向量有关,如果选择的是标准正交基,度量矩阵为单位矩阵。 对于线性空间中的任意一个向量,可以用这组基向量线性表示,设这组基向量为$v_1,v_2,...,v_n$,向量$w$在这组基下的坐标为$(x_1,x_2,...,x_n)^T$,则$w=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n$。向量$w$和向量$v_i...