基变换矩阵是指在一个向量空间中用一组基表示一个向量,在另一个基下表示这个向量,通过基变换矩阵实现。 假设有一个n维向量空间V,它有两组基:B={b1,b2,...,bn}和B'={b'1,b'2,...,b'n},向量v在B下表示为[v]B=(x1,x2,...,xn)T,在B'下表示为[v]B'=(y1,y2,...,yn)T。现在需要求解从B到B'的基变换矩阵,使得[v]B'=P·
基与维数的概念:向量空间的一个极大线性无关组称为基,基所含向量的个数称为维数;基变换矩阵求解:设基B到基C的过渡矩阵为P,则通过将C中每个向量在B下的坐标按列排列构成矩阵P 解析分三部分:1. 基的定义:满足两个条件:(1)线性无关;(2)该向量组能生成整个空间。两个条件等价于极大线性无关组2. 维数的确...
1. 恒等变换 现在让我们来找到这个特殊无聊的变换 T(v)=v 对应的矩阵。这个恒等变换什么都没有做,对应的矩阵是恒等矩阵,如果输出的基和输入的基一样的话。 如果T(vj)=vj=wj,那么变换矩阵就是 I。 但是,如果基底不一样的话,那么 T(v1)=v1 将会是 w 的组合 m11w1+⋯+mn1wn,组合系数也就是矩阵 ...
反之,给定线性空间的两组基 {e1,e2,⋯,en} 和{f1,f2,⋯,fn},不妨设向量 α 在不同基下的线性表示如 (2) 式所示,而 α 在不同基下的坐标向量满足关系式 (3),则我们有 fi=pi1e1+pi2e2+⋯+pinen, i=1,2,⋯,n.因此,矩阵 P 就是从基 {e1,e2,⋯,en} 到基{f1,f2,⋯,fn} 的...
过渡矩阵由目标基向量在原基下的坐标按列构成。若原基为{e₁,e₂},目标基为{f₁,f₂},过渡矩阵P含f₁,f₂在{e₁,e₂}下坐标。对于向量x在原基下坐标为[x]₁,在目标基下坐标为[x]₂ 。基变换公式的核心等式为[x]₂ = P⁻¹[x]₁ ,实现坐标转换。这里P⁻¹是过渡矩阵...
1. 恒等变换 现在让我们来找到这个特殊无聊的变换T(v)=vT(v)=v对应的矩阵。这个恒等变换什么都没有做,对应的矩阵是恒等矩阵,如果输出的基和输入的基一样的话。 如果T(vj)=vj=wjT(vj)=vj=wj,那么变换矩阵就是II。 但是,如果基底不一样的话,那么T(v1)=v1T(v1)=v1将会是ww的组合m11w1+⋯+mn1w...
秩并不是一个可以简单定义的数字而是与矩阵中独立向量的数量紧密相关反映了这个基变换矩阵的能力——它能够独立转换的向量数目。秩地定义其实并不复杂。我们知道,矩阵的秩是指矩阵中最大的一组线性无关列向量的个数,或者换句话说就是矩阵能够支撑的最大维度。这也意味着如果一个基变换矩阵的秩较高。表示它能够...
..,e→n}下的线性变换系数,形成一个矩阵L=(Lij) 这个矩阵即表示了取定基{e→1,e→2,...,e→n}下的线性变换。 下面我们运用基的变换,来求线性变换T在另一套基{e→1′e→2′,...,e→n′}下的矩阵表示,并由此引出同一个线性变换的矩阵表示在不同基下,是相似的。
这个逻辑比较绕,这个矩阵是把我们的参考方格变成小t同学的方格,可是它完成的是把小t同学的向量翻译成我们所看到的数值。其实我们把(3,2)看作是我们对小t同学的误解,逻辑就通顺了。 如果我们要把小t同学的向量翻译成我们的呢?只需要取逆变换就行了。逆变换指明了我们的基在T系中长什么样子。 既然向量之间可以完成...
基向量变换矩阵由目标基向量在原基下的坐标按列构成。若原基为{e₁,e₂} ,目标基为{f₁,f₂} ,可求变换矩阵。变换矩阵行列式不为零,表明其可逆。计算变换矩阵时需准确确定基向量的线性组合关系。基向量变换矩阵乘法满足结合律 ,但不满足交换律。对于三维向量空间,基向量变换矩阵是3×3矩阵。当基向量...