性质1保证了 (Z/nZ,+) 是商群,它是循环群 ⟨1¯⟩ ;但性质2并不能保证 (Z/nZ,∗) 是群,因为显然 0¯ 没有multiplicative inverse,但是由可逆元素组成的集合 存在使得(Z/nZ)∗={a¯∈Z/nZ:存在c¯∈Z/nZ使得a¯c¯=1}={a¯∈Z/nZ,gcd(a,n)=1} 是群。定义了加法和乘法的...
在群论中，我们可以找到许多有趣的例子来展示子群和商群的概念。首先，考虑整数集 Z 在加法下的群，它的子群 2Z 包含所有偶数，这是一个正规子群，因为 Z 是阿贝尔群。Z 的陪集是偶数集合和奇数集合，因此商群 Z/2Z 是一个由两个元素构成的循环群，通常与模 2 的加法运算下的 {0, 1} 群等同。
综上,f是R到R+的同构映射,即,(R,-)和(R+,÷)同构。 下面举一个应用同态基本定理(教材中定理6.5.3)的例子。 例6.2.15 设(G,·)是一个交换群,H是由G中所有周期是有限的元素构成的集合,试证明: (1)(H,·)是(G,·)的正规子群。 (2)在商群G∕H中,除了单位元H外,所有元素的...