▲数理逻辑中的一个重要定理是哥德尔不完备性定理,很多人未意识到其现实意义超越了大部分的理论以及背后隐藏的哲学思想,某种程度上而言:哥德尔定理的价值就是数学领域的“相对论” ·哥德尔不完备性定理的解决方案通常有两种途径:通过类比推理式的创新思维修复形式系统内无法自证的定理;其次运用范畴论思想,即通过升级更...
1930年，库尔特-哥德尔（Kurt Gödel）提出了两个不完备（全）性定理，震惊了整个数学界。我很快就会解释这些定理，它们揭示了关于数学本质的一个基本真理，而这是当时大多数数学家都不愿意接受的事实。在我们讨论这两个定理之前，我将给出几个简单而直观的定义，这些定义对理解这两个定理的妙处是必要的。数学系统...
哥德尔在1931年给出了两个定理,终结了人们的幻想, 分别称为哥德尔不完全性定理,和哥德尔协调性定理。他指出, 不完全性 如果\Gamma是一个有穷,并包含初等算术\Pi的形式理论, 那么\Gamma是一个不完全的形式理论。 协调性 如果形式理论\Gamma包含初等算术\Pi, 那么\Pi的协调性不能在\Gamma中被证明。 所以,在软件...
(2) 没有一个这样的数理逻辑体系，能够证明自身的一致性，因此数学公理的真理性，必须在这些体系之外得到证明（第二定理）。接下来，我们将分 30 个步骤，非正式地介绍，库尔特-哥德尔关于数理逻辑不完备性的精彩、著名且在哲学上具有毁灭性的论证，其中 "数理逻辑 "被理解为怀特海和罗素的《数学原理》，以及本质上...
受哥德尔不完备定理启发,或许可以认为集成学习是一个重要方向,即神经网络、随机任林等单一模型或技术路线注定无法解决所有非线性问题,因为哥德尔不完备定理证明了一个自洽的公理体系一定有不可证明的“正确命题”,即单一技术路线的不完备性,简单点说就是“人无完人,即公理无完美”。这或许可以启发出更多的非线性拟合方...
哥德尔的第一不完全性定理 哥德尔的第一不完全性定理声明，在任何包含基础算术的，且自身无矛盾的形式系统中，总存在至少一个命题，该命题既不能被证明为真，也不能被证明为假。这意味着没有任何形式系统能够利用其公理和推理规则完全地确定每一个数学命题的真假——这暗示着数学的“不完备性”。Gödel's First ...
对哥德尔来说，理性在世界中是显而易见的，因为这种秩序是可以发现的。尽管没有被提及，但他对来世的信念，也与他的不完备性定理的结果，以及对数学基础的相关思考密不可分。哥德尔认为，世界的深层理性结构和灵魂死后的存在，取决于唯物主义的虚假性，即认为所有真理，都必然由物理事实决定的哲学观点。唯物主义倾向...
他的不完全性定理意味着，不可能对所有事物都进行数学理论，对可证明的和真实的事物也无法统一。数学家可以证明的内容取决于他们的初始假设，而不是所有答案所依据的任何基本事实。自哥德尔发现以来的89年中，数学家偶然发现了他的定理所预言的那些无法回答的问题。例如，哥德尔本人帮助建立了关于无穷大的连续性假说是不...
作为哥德尔不完备性定理的第一定理，这说明在一个公理系统中，总有一些命题，我们是拿他们没办法的，就像是悖论一样。如果想要证明或者证伪这些命题，就需要额外增加公理的数量。这一定理，直接一棒子把希尔伯特这群数学家给敲懵了。这意味着，公理的数量必须得是无限的，否则就一定存在一些领域，是我们头脑无论聪明，...