群同态基本定理 第一、二群同构定理 同态与同构 定义1 设{G1;·}与{G2;∗} 是两个群,f是G1到G2的一个映射,如果 f(a⋅b)=f(a)∗f(b),∀a,b∈G1 则称f是G1到G2的一个同态映射,简称同态。若G1与G2是同一个群,则称f是自同态。若同态f还是单射,则称f是单同态;若同态f还是满射,则称f是满同态.当f是满同态时,称
为同态 \sigma 的像,记作 \operatorname{Im}\sigma 。可以验证, \operatorname{Im}\sigma 是G' 的子群。 证明. 对任意 a,b\in\operatorname{Ker}\sigma ,则 \sigma(a)=\sigma(b)=e' 。结合定理3,我们有 \sigma(ab^{-1})=\sigma(a)\sigma(b^{-1})=\sigma(a)(\sigma(b))^{-1}=e....
这个定理被人们称为“同态基本定理”,又称为“同态基本核定理”,它最初是由缪斯·坎托尔派德(M. Cantor)和萨蒙·可拉维尔(S.Helewar)提出的,后来得到进一步的推广和发展。该定理指出,在一个几何空间中,同态映射能够保持某些特性,即不管任意两个点如何变换坐标,同态映射可以将二者置换,并使他们在原几何空间中看...
表明,商群总是群的同态像; 表明, 定理 1 表明,商群总是群的同态像;定理 2 表明,群的同态 同态基本定理表明, 像只能和商群同构。因此同态基本定理表明 在同构意义下, 像只能和商群同构。因此同态基本定理表明,在同构意义下, 群的同态像就是它的商群, 群的同态像就是它的商群,因而确定群的全部同态像等价于...
意义:同态基本定理是理解代数结构间关系的基石。它揭示了通过同态映射,如何将一个复杂的代数结构分解为更易于理解的部分,同时保持结构上的一致性。 应用: 简化群的结构分析:通过同态基本定理,可以将复杂的群结构分解为更简单的部分,便于理解和研究。 分类问题:在研究群的同构分类时,同态基本定理提供了强有力的工具,...
于是我们也可以这么理解定理 6: Th7.设≅≅对应的划分ψψ,元素xx所在类[x][x],在ψψ上定义乘法: [x][y]=[x∘y][x][y]=[x∘y] 则其是ψψ上的二元代数运算,且[e]=eH=H[e]=eH=H 同态基本定理 同态:设群(G,∘),(G′,⋅)(G,∘),(G′,⋅),若存在一个映射ϕ:G→G...
正如正规子群诱导出群上的一个等价关系(称作同余)一样, 环的理想也诱导出环上的一个等价关系(同样称其为同余), 基于这个同余关系我们可以定义商环, 进而给出类似于群的同态基本定理那样的结论, 当然, 我们首先需要定义环的同构和同态, ...
同态基本定理 在上一节中讲了正规子群: H ◁G (a ∈G) aH=Ha. 定义了商群:G/H, 运算为 aHbH= abH. 由商群的运算可见: a aH 是 G 到 G/H 的一个 同态, 称为自然同态. 这说明:群 G 的每个商群都 是 G 的同态像. 反之, G 的每个同态像也是(同构于) G 的某个商群. 此...
群同态基本定理： 设f是群G到群H的满同态映射，则G/Ker ≅ Im，即G关于f的核的商群与f的像集同构。第一群同构定理： 设G是一个群，H和N是G的子群，且N是正规子群，则G/N ≅ /。更常见且易于理解的表述是：设G是一个群，H和K是G的子群，且K是正规子群，如果H包含K，则G...
同态基本定理 定义1 设φ是群G到群G̅的群同态，G̅的单位元在φ下的所有原象作成的集合，称为φ的核，记为Kerφ。 群G的所有元素在φ下的像作成的集合，称为φ的像集，记作Imφ ,或φ(G).同态基本定理 定理2 设φ是群G到群G̅的一个满同态. 则 N=Kerφ⊴G...