定义1.1.1(可数性公理): (第一可数性公理) C1 : X 中任意一点都有可数邻域基(local base). 这类空间称为 C1 空间(也有文献记作 A1 空间). (第二可数性公理) C2 : X 有可数拓扑基. 这类空间称为 C2 空间. 显然C2 蕴含C1 . 事实上 C2 空间X 的可数拓扑基 B 中所有包含 x 的元素就是 x 的一个可数邻域
中满足第一可数性公理,但不满足第二可数性公理。 定理2 第一可数的空间的子空间是第一可数的,可数个第一可数的空间的笛卡尔乘积是第一可数的。第二可数的空间的子空间是第二可数的,可数个第二可数的空间的笛卡尔乘积是第二可数的。 Proof. 第一可数性公理:设空间 X 是第一可数的, A 是X 的子空间,对于 ...
邻域系:某点所有邻域的集合,满足开邻域基的条件;可数性公理:第一可数(每点有可数邻域基),第二可数(整体有可数基);紧集:任意开覆盖存在有限子覆盖;基本拓扑性质:连通性、紧致性、分离性(如Hausdorff)、可数性等。 1. **邻域系**:在拓扑空间中,点x的邻域系是其所有邻域构成的集族。邻域是包含包含x的一个开...
第一可数公理 现在我们开始介绍空间的可数性公理.首先是第一可数公理,我们将证明如果一个空间满足 第一可数公理,那么连续性的刻画可以由序列的收敛性得到.为了叙述方便,我们记第一可 数公理为公理,第二可数公理为公理. 由于我们之前没有介绍邻域系这个概念,所以这里还要稍微提一下,目前我只在滤子和第一 可数公理这...
一、 可数性公理 从前面的讨论可知：拓扑基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证连续映射都有着重要的意义，它们的元素“个数”越少，讨论起来就越方便，因此对拓扑空间加以适当条件的一种想法就是对拓扑空间的基和邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常见的拓扑空间，...
设X是满足第二可数性公理的空间,存在可数基B。对每个非空U∈B,选取x_U∈U。令D={x_U | U∈B},D是可数的。对任意开集V≠∅,存在U⊂V且U∈B,故D∩V≠∅,D稠密。因此X可分。 1. **第二可数性公理**:X具有可数的拓扑基B,记为B={B_n}_(n∈ℕ)。2. **构造可数集**:对每个非空的...
这一节介绍极限, T1 空间,Hausdorff空间,第一可数性公理,网 一、极限,T1 空间,Hausdorff空间 在数学分析中,我们已学过 Rn 中的收敛序列和极限的概念,现在我们把这些概念推广到拓扑空间中去。 定义1:设X 为拓扑空间, x∈X,{xn}n=1+∞ (下文简写为 {xn} )为 X 中的序列。称 {xn} 收敛到 x 或x 是...
每一度量空间都满足第一可数性公理。 在度量空间\((X, d)\)中,任意一点\(x \in X\),可取开球族\(\{B(x, 1/n) \mid n \in \mathbb{N}\}\)作为其邻域基。该族可数,因自然数集\(\mathbb{N}\)可数。对于\(x\)的任意邻域\(U\),存在\(\epsilon > 0\)使得\(B(x, \epsilon) \subseteq...
第二可数性公理还蕴涵Lindelof可数性公理和可分性公理,但若拓扑空间可度量化,则这三个公理互相等价。 遗传性:满足第一可数性公理的空间的子空间也满足第一可数性公理,第二可数性公理也有这个遗传性;满足Lindelof可数性公理的空间的闭子空间也满足Lindelof可数性公理;可分性公理没什么理想的遗传性。 积拓扑:满足第一可数...
5.1第一与第二可数性公理 第二章介绍的空间的基,在生成拓扑空间,描述局部连通性,刻画连续性等方面都发挥了积极的作用.较少的基元对于进一步讨论空间的属性是重要的.定义5.1.1若X有可数基,称X满足第二可数(性)公理,或是定义5第二可数空间,简称A2空间.定理5定理5.1.1RA2.证令B={(a,b)|a,b∈Q},定理...