变换群指非空集合S上的某些可逆变换构成的集合G,这些变换在复合运算下满足群的三个公理。具体而言,集合G中的元素是从S到S的双射函数,且满足:恒等变换属于G;任意变换的逆变换也在G中;任意两个变换的复合变换仍属于G。例如平面上的所有旋转操作构成一个变换群,因为旋转是可逆的,且连续旋...
定理1:集合A上的所有一一变换的集合G关于变换的乘法(复合)作成群。 证:首先,恒等变换ɛ:A→A(ɛ(x) = x)是集合A上的一一变换,所以ɛ∈G,即G≠∅; ①对任意的f,g∈G,由映射的性质(见第03篇笔记)可知,一一变换的乘积(复合)还是一一变换,即(f o g),(g o f)∈G,因此满足群公理的第一条:...
由上面的讨论我们可以看出A的若干个变换要想组成群,那么必须选择一一变换来组成一个集合。这种由一一变换组成的群就是变换群。我们可以给出如下的定义: 定义1:一个集合A的若干个一一变换对于以上规定的乘法作成的一个群叫做A的一个变换群。 定义上说是若干个一一变换,那么全部的一一变换可以组成一个群吗?当然是可...
1-4.5 变换群的轨道 1-4.6 迷向子群 例15: 群的迷向子群 1-4.7 轨道和迷向子群的关系 1-4.1 群的直积 定义:设 g1α∈G1, g2β∈G2 ,若 g1αg2β=g2βg1α ,则元素 gαβ=g1αg2β 在乘法 (1-21)gαβgα′β′=g1αg2βg1α′g2β′=g1αg1α′g2βg2β′=g1α′...
这个变换可以是平移、旋转、反射等等。变换群就是由这些变换所组成的集合。 对于一个变换群来说,它必须满足以下几个条件: 1.闭合性:变换群中的任意两个变换的复合仍然是一个变换,也就是说,如果我们首先进行变换A,再进行变换B,那么结果可以看作是某一个变换C。 2.结合律:对于变换群中的三个变换A、B、C,...
置换群 定义1:有限集上的一一变换叫做“置换”,同一集合上的若干置换构成的群称为“置换群”。 【“置换群”和“变换群”的区别:“置换群”要求是“有限集”上的一一变换组成的群,而变换群则没有“有限集”这个限制条件,因此“置换群”是“变换群”的一种特殊形式。】 ...
从更具体的角度来说,变换群是一种特殊的群结构,它与集合A中的元素变换相关。这里的变换是一种将集合A中的元素映射到集合A中其他元素(一一对应)的操作。比如说,在一个平面上的所有平移操作可以构成一个变换群,因为平移是一种一一变换,并且平移之间可以定义乘法(连续进行两次平移操作),满足群的四个条件(封闭性、结...
从比较一般的观点要给出不变量的定义,是:一个函数f(x) 在变换群φ(g,x) 作用下称为不变量,如果有 这个定义说明不变量在任何单参数群上保持常数。在变换群中,最重要的一类群是给了x点和y点,若有一个g使x变到y点,即 从变换的观点来看问题,不仅动力系统的...
定理1假设 是集合 的一些变换作成的集合,且 .如果对于变换的乘法 作成一个群,则 只包含 的一一变换. 定义一个集合 的若干个一一变换对于变换的乘法作成一个群叫做 的一个变换群. 定理2一个群的所有一一变换作成一个变换群 . 定义一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换. 定义一个包含 个元的集合的全体...
定义:变换群是指由某一集合上的所有可逆变换构成的群。这里的“变换”通常指的是保持集合中元素某种性质(如距离、角度等)不变的映射,“可逆”则意味着每个变换都存在一个逆变换,使得经过该逆变换后能够恢复到原始状态。 例子: 平面几何中的旋转群:包括平面上所有绕某点旋转的变换。 欧几里得空间中的平移群:包括空...