一、基本概念1.变分的基本问题函数将数映射成数,而泛函将函数映射成数. 我们现在要考虑的最基本的问题是,如何在定义在区间 [t_0,t_1] 上的,固定边界为 f(t_0)=y_0,f(x_1)=y_1 的,连续且有一阶和二阶导数的所有…
在知乎转了一圈,发现变分原理写得不少,但是实在是不能让我满意,很多推导实在是太不清晰简明,因此先把这个写了,作为理论力学的开头 在开始之前,希望能把所有刚学到的东西都忘掉,包括变分、泛函等等概念(本…
🌐在理论力学中,哈密顿力学是一个重要的分支,而变分原理则是哈密顿力学的基础。今天,我们将深入探讨这一主题。📖首先,我们要了解变分法的起源。早在17世纪,牛顿时代,伯努利、牛顿、莱布尼茨等数学家就已经开始探索变分法。到了18世纪,欧拉极大地发展了变分理论,为后来的哈密顿力学奠定了基础。🎯接下来,我们来...
变分不等式理论 变分不等式理论是常用的数学工具,可以运用在很多研究领域中。它是在某种程度上受拉格朗日乘子法影响而发展出来的理论,它也被用于解决求解某类优化问题。 变分不等式理论的主体思想可以简化为构建一个变分型,使得它在穷尽满足相关条件、约束条件和其它反映问题本质的主要式子中有最佳解。 变分不等式被...
变分不等式可以用来求解凸优化问题、线性规划问题和非线性规划问题,以及约束条件下的最优值问题。变分不等式提出的变分原理是数学和统计领域中重要的理论基础。 变分不等式可以划分为一下几类:线性变分不等式、角变分不等式、非凸变分不等式、距离变分不等式和未知函数变分不等式。线性变分不等式是线性规划中最常用的...
这一理论起源于17世纪对最速降线问题的研究，后经欧拉、拉格朗日等数学家的系统化发展，形成了现代变分法的基本框架。从数学本质来看，变分法将函数的函数（即泛函）作为研究对象，通过引入变分概念，建立了与微分学中寻找函数极值类似的系统性方法。在变分法的理论体系中，欧拉-拉格朗日方程构成了其核心数学工具。该...
有限元中的变分理论可以理解为一种求解偏微分方程的数值方法，它基于变分原理，并结合了古典的RitzGalerkin方法与分片多项式插值。以下是关于有限元变分理论的几个关键点的理解：数学基础：有限元方法在数学上属于变分法范畴，它利用变分原理来求解问题。变分原理是一种求解极值问题的方法，在有限元中，它用于...
本文是黄海平教授基于书籍《Statistical Mechanics of Neural Networks》开设的本研贯通课程第三章内容--变分平均场理论和信念传播算法,由PMI组研究生余振东整理。 变分平均场理论 我们的核心目的是求解自旋系统在正则系综情况下概率分布,然而难点在于正则系综的配分函数在自旋数N比较大的情况,计算非常复杂,呈现量级求和。
讨论了钱伟长教授提出的变分原理中的变量独立问题。文章发现,钱教授处理变量独立和变分原理约束问题的高阶拉格朗日乘子理论是不一致的;涉及变量独立问题的罗恩的理论存在着矛盾;对变分原理变量独立的传统理解隐含着矛盾。在数学逻辑的背景下,变分理论必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统;变量独立性应该逻辑地理解为...
基于变分理论的图像分割与识别算法研究 图像分割及其应用 图像分割是将一个数字图像分成多个区域的过程。这些区域可能包含单独的物体,或者是物体的一部分或者是一些背景。图像分割的目的是将图像中的不同元素分离,以便对它们进行单独处理或者进行视觉理解。图像分割在计算机视觉、图像处理、人工智能等领域中具有重要的应用。