对于n≥1和R>0,构造标架齐性的Riemannian流形Hn(R),称作半径为R的双曲空间,这个空间有几种定义,我们会在接下来阐述,并且证明这些定义得到的空间都是等距的。 定理.以下Riemannian流形是等距的。 (a)Hn(R)作为Minkowski空间Rn,1的子流形,在标准坐标(ξ1,…,ξn,τ)下满足方程(ξ1)2+⋯+(ξn)2−τ...
至此我们已经初识了圆盘模型,它是指数增长的空间,又可以看作连续的树结构,与欧式空间大不相同——感谢埃舍尔的指引,现在可以正式介绍这个“魔力”圆盘了,它全名叫贝尔特拉米-庞加莱圆盘,也常简称庞加莱圆盘,是双曲空间的一种模型。 身在双曲空间会有何种体验呢?举个例子,在庞加莱圆盘上,当一个物体离开你时,它...
除了共形模型外，双曲空间还有另一类重要的模型——射影圆盘模型，亦被称为贝尔特拉米-克莱因模型或简称克莱因圆盘。这位19世纪的德国数学家克莱因，通过群论的分析，将那个时代的几何学进行了统一，从而引领了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。克莱因模型的特点在于其简洁性：在圆盘上，弦被直接映射...
今天我们介绍一类重要的几何结构:双曲空间。我们将讨论双曲空间的几何模型,其上的李群作用和两类特殊的动力系统:测地流和horocycle流。 抽象的讲,一个n维双曲空间M就是一个高斯曲率处处为常数−1的流形。我们有一个普世的单连通双曲空间,记为Hn,则M=π1(M)∖Hn。 Hn 上有一个很大的保距作用群,我们记...
1. 初识双曲空间 难以想象,如果没有画家埃舍尔,多少人将被艰深的双曲几何拒之门外;幸运的是,埃舍尔的系列作品已成为最佳向导,指引我们通向双曲空间。 圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻(图1):前者的主要形象是各色的鱼,它们有白色的背脊线...
- Poincaré圆盘模型是双曲空间的一种直观模型,它将双曲空间映射到二维平面上的圆盘。 -在这个模型中,两点间的距离可以用极坐标来表示,公式为:\[ d(x, y) = \arccos\left(\frac{x_1 y_2 - x_2 y_1}{\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}}\right) \] 其中,\( (x_1, y_1)...
庞加莱圆盘模型是最直观的双曲空间示例。该模型以单位圆盘 为载体,配备度量 。测地线表现为与边界圆周正交的圆弧,三角形内角和严格小于 。克莱因瓶在此模型中可嵌入为紧致双曲曲面,其万有覆叠空间即为整个庞加莱圆盘。 上半平面模型 采用度量 ,等距变换群由莫比乌斯变换构成。该模型与模形式理论密切相关,例如 作...
双曲线概念源自数学领域，将之旋转得到双叶双曲面。具体方程式如下：将双曲线绕实轴旋转，其方程式为[公式]双曲面模型在几何学中，亦被称为闵可夫斯基模型或洛伦兹模型。它是n-维双曲几何中的一个模型，点由(n+1)-维闵可夫斯基空间中双曲面的向前叶表示。以三维空间中的二维双曲曲面为例，光线从(0,0...
我们的形式空间犹如双曲线一样,不断扩大这片广阔地疆域,这意味着随着空间的扩大,它扩张速度会越来越快并拥有更强大的形式空间系统,之前的循环体系不管是一元循环体系还是二元循环体系我们都不改变它的曲率,由于↑∞↓的性质,斜度都永远不会"竖"起来,放大看,曲率一样,再放大看还是一样...当我们在空间扩张和扩张增...
切空间是由切向量组成的,那么切空间的基也一定与切向量有关,如下图所示 切空间的基 那切空间有什么用呢?正如很多论文的提到双曲空间和欧式空间的相互转化是通过对数或者指数运算映射的,而切空间又与欧式空间 同构。回想一下流形的定义,流形是有很多个局部的欧式空间组成的,那这里的切空间一定程度上对应着欧式空间...