双曲型偏微分方程,双曲型偏微分方程是描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程。双曲型偏微分方程解可以分解为振动与振动相乘,或指数函数与指数函数相乘的形式,一般能量无穷。
双曲型偏微分方程是指具有如下形式的方程: \[a(x, y) u_{xx}+ 2b(x, y) u_{xy}+ c(x, y) u_{yy} + d(x, y) u_x + e(x, y) u_y + f(x, y) u = g(x, y)\] 其中,\(u\)是未知函数,\(x\)和\(y\)是自变量,\(u_{xx}, u_{xy}, u_{yy}\)分别是\(u\)对\...
如果不考虑粘性作用(Viscosity)以及热传导(heat conduction),可压缩流体的控制方程,也叫做欧拉方程(Euler equations)是一个双曲型偏微分方程组。 统一符号 应变量: ui 自变量 : x,tui=ui(x,t) 偏微分(标量形式): ∂ui/∂x∂ui/∂t 矢量形式 utux 基本概念 ∂ui∂t+∑j=1maij(x,t,u1,u2,....
上面介绍了线性输运方程,接着我们带大家了解线性双曲型PDE组。 如下,我们有个n个双曲型PDE: U_t + A U_x = 0 \tag 2 其中A为一个矩阵,大小为 n\times n ,上述方程组中有n个未知数和n个方程组成。 首先,这几个方程组是耦合在一起的,单个PDE中含有多个未知数,如果我们能将上述方程组解耦,是不是...
Lax-Friedrichs格式是一种用于求解双曲型偏微分方程的数值方法。考虑二维空间中的一阶双曲偏微分方程,其一般形式可以表示为: 其中,$a$ 和 $b$ 是常数,分别代表在$x$和$y$方向上的波速。 Lax-Friedrichs格式可以写成: 其中, 表示在时刻 、空间位置
一、双曲型偏微分方程的基本概念 双曲型偏微分方程是一个包含两个独立变量的方程,其中一个变量表示时间,另一个变量表示空间。其一般形式可以表示为: $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t)$$ 其中,$u$表示未知函数,$f(x,t)$为已知函数。该方程描述了...
一、双曲型偏微分方程的概念 双曲型偏微分方程是指偏微分方程中的一种,其二次型矩阵为M = (−1)^n ∂^2/∂x^2+(1)^n ∂^2/∂y^2+···。 这种类型的方程通常描述一个波动的过程,如机械波、电磁波等。例如,二阶波动方程u_tt-c^2u_xx=0,其中c是波的速度。这个方程可以描述振动弦、...
一、双曲型偏微分方程组的基本概念 双曲型偏微分方程可以简单地表示为: $$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t)$$ 其中,$u(x,t)$是待求函数,$f(x,t)$是已知函数,$a$是常数。 对于双曲型偏微分方程中的函数$u(x,t)$,其趋势和形状通常会随着...
本章研究了一类双曲型偏微分方程的一些基本性质。 本书中研究的离散化技术主要基于偏微分方程的基本物理和数学特性。因此,有理由在偏微分方程的一些基础上投入一些精力。这里我们几乎只讨论双曲偏微分方程,特别是双曲守恒律。这主要有三个原因: (i)当忽略粘性和热传导的影响时,可压缩流体流动方程简化为双曲方程组...