单位根反演是借助单位根和整除之间的关系,主要用于解决“求解某个序列中下标为k的倍数的数之和”这一类问题 其原理和使用的方式并不难,但是确实是解决某些题目的必要前提。 本文总结了单位根反演的常见形式以及一个推论,附带了3道例题。 前置知识 单位根 实数和虚数统称复数 虚数i 即i=−1 n次单位根(简称为单位根) 即
单位根反演 [n∣k]=1n∑i=0n−1ωnikProof: 当n∤k时,对右边进行等比数列得到RHS=1n×ωnkn−1ωnk−1,容易发现其分子为0,分母不为0,所以该式等于0。 当n∣k时,容易得到和式中的每一个ωnik都为1,即RHS=nn=1。 推论 现在有一个m次多项式f,其在x^k处的系数为a_k,那么有 ...
构造F0(x)=(sx+1)n,单位根反演,S0=a04∑j=03F0(gj),其中g是mod998244353
单位根反演 命题如下: ∀k∈Z,[n|k]=1n∑i=0n−1ωnik 证明: 设[n|k]=1,则根据单位根性质,我们可以得到: ∑i=0n−1ωnik=n 设[n|k]=0,则: ∑i=0n−1ωnik=ωnnk−1ωnk−1=0 由此可知式子成立。 由此可知,如果想要知道一个多项式特定倍数次项的系数之和,就可以这么做: ∑i=...
先上单位根反演的公式：[k|n]=1 k k−1∑ i=0ωni k 我们来考虑证明这个公式，分类讨论：若k|n，那么：1 k k−1 ∑ i=0ωni k = 1 k k−1 ∑ i=0(ωn k)i= 1 k k−1 ∑ i=0ω0 k =1 若k |n，那么根据等⽐数列求和有：1 k k−1 ∑ i=0ωni k = 1 k(ω0...
单位根反演的一般步骤是根据$n$的值来找到所有可能的单位根$w_k$,其中$0\leqk<n$。然后计算出每个单位根的幂$w_k^{n}$,和给定的复数$a$进行比较。如果两者相等,那么这个单位根就是一个解。 举个例子,假设$a=8$,$n=3$。我们知道单位根可以表示为$w_k=e^{2\piik/n}$,其中$k=0,1,2$。计算...
首先，我们需要了解单位根与原根的概念。在算法竞赛中，模数通常为某个数，其原根是指满足特定性质的整数。关于模意义下的单位根，存在一些基本结论，例如，求解单位根的具体方法。单位根反演的核心式子表达式如下，其中 [公式] 代表普通整数，而非复数域中的单位根。证明该式成立的步骤涉及对等式的直接...
单位根反演 一个等式: [ n ∣ a ] = 1 n ∑ k = 0 n − 1 w n a k [n \mid a] = \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 0} ^{n - 1}w_n ^{ak} [n∣a]=n1k=0∑n−1wnak 证明: w n a w_n ^ a wna是 n n n次单位根的 a a a次方,所以这里是一个...
水一下单位根反演 寒假有点放飞自我,没怎么认真学数学(惭愧) 而单位根反演这个技巧于我也是一年前学的了,毕竟还算有点意思,所以拿出来水一下(毕竟我对自己的要求是月更)
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