组合计数问题是组合数学中重要的最古典的分支。有人将组合计数问题归为 12 个集合映射问题。但是其中有 2 个是平凡的,所以我们只研究 10 个。十二重计数法在数学上,严谨的定义是“从一个集合对另一个集合的映射的个数”。但是我们可以用更简单的方法定义它:把 n 个苹果装进 m 个盒子的方案数。首先,我们...
【解题报告】十二重计数法 I:球之间互不相同,盒子之间互不相同。 对于这部分的计数,很显然方案总数是nmnm II:球之间互不相同,盒子之间互不相同,每个盒子至多装一个球。 对于这部分的计数,每个盒子只有0/10/1两种状态 对于每种都需要在没选出来的里做出选择,方案数也就是∏n−1i=0(m−i)∏i=0n−1...
故F_m(x)=\prod_{j=1}^{m}{\frac{1}{1-x^j}},求法与下面这道模板题类似。 先对F_m(x) 取ln ,利用级数 ln(1-x)=-\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{x^i}{i}},得 ln\ F=-\sum_{j=1}^{m}{ln(1-x^j)}=\sum_{j=1}^{m}{\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{(x^j)^i}{i}...
[luoguP5824]十二重计数法 [luoguP5824]⼗⼆重计数法 Problem:Solution:第⼀重(球之间互不相同,盒⼦之间互不相同):对于每个球都有 m 个盒⼦放,即 m n 。第⼆重(球之间互不相同,盒⼦之间互不相同,每个盒⼦⾄多装⼀个球):当 n >m 时为 0;当 n ≤m 时为 m n _。...
Luogu P5824 十二重计数法(小球盒子计数) Link 假如有\(n\)个球,要放进\(m\)个盒子,求方案数。 \(\text{I}\):球之间互不相同,盒子之间互不相同。 显然答案为\(m^n\)。 \(\text{II}\):球之间互不相同,盒子之间互不相同,每个盒子至多装一个球。
P5824 十二重计数法 十二重计数法 × 刻刻帝十二种子弹 √ 以下复杂度均在已经预处理完逆元、阶乘逆元和阶乘的情况下计算。 咋一股这玩意的味道。。。不过简单多了 球之间互不相同,盒子之间互不相同。 显然是\(m^n\)。复杂度\(O(\log n)\)。
luogu P5824 十二重计数法(简单组合计数(雾))生成函数+斯特林数+二项式反演+经典对指反演优化DP+多项式,程序员大本营,技术文章内容聚合第一站。
有1212种对方案的计数方式。球和盒子是否相同(意思是,对于两个相同的球,交换其映射对象得到的方案视为一种)有四种;限制方式(无限制;每个盒子放≤1≤1个球/单射;每个盒子放≥1≥1个球/双射)有三种。 这些计数方式构成了最经典的十二重计数法,也就是最经典的方案计数问题。
十二重计数法作为组合数学登峰造极之作之一,我觉得有必要写一下所有情况的做法以及数学推导来整理一下。 球之间互不相同,盒子之间互不相同 本情况中,每个小球都有m个盒子的选择,因此根据乘法原理,总的方案数即为mn。用快速幂计算,复杂度O(logn)。
luoguP5824 十二重计数法 组合+生成函数+第二类斯特林数,12种组合计数问题合在一起.code:#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<string>#definelllonglong#defineulluns