分数阶微积分通过将微分和积分运算统一为任意阶的单个分数阶导数来广义化. 分数阶微积分用于金融、工程、科学等领域.Wolfram 语言提供了使用 Riemann-Liouville 和 Caputo 定义计算分数阶导数的工具,以及使用流行的拉普拉斯变换技术来求解具有 Mittag-Leffler 和相关函数的常数系数的线性分数阶微分方程系统. ...
Letnikov定义下的分数阶微积分算法 % 调用格式:y1 = glfdiff(y,t,γ) % y1 | 输出的分数阶结果 t | 自变量 %γ | 分数阶微积分阶次 %γ > 0为微分 | γ < 0为积分 function dy = glfdiff(y, t, gam) % 检测函数y是否是函数句柄 if strcmp(class(y), 'function_handle') y = y(t); ...
分数阶导数的定义众多，如Riemann-Liouville定义、级数定义和Caputo定义。Riemann-Liouville定义基于积分，适用于时间分数阶导数计算，而空间分数阶导数多用Riemann-Liouville和级数定义。Caputo定义在拉普拉斯变换中有优势。这些定义间存在关系，如Riemann-Liouville是Grunwald-Letnikov的扩展，而Caputo是对Grunwald-Letn...
分数阶微积分是任意实数阶或复数阶微分及积分理论的发展. 它将经典微积分的基本运算扩展到分数阶,研究涉及这些分数阶导数和积分的微分方程的求解方法[1]. 分数阶微积分不仅仅是一个纯粹的数学理论. 这一分支在扩散问题、流体动力学、控制理论、信号处理等领域越来越受重视.
由于x的导数是1,所以x的半阶导数就等价于1的半阶积分。这意味着: D^{1/2}[x]=I^{1/2}[1]=2\sqrt{\frac x\pi}\\ 如同我们最初接触分数、无理数、复数,我们只有知道分数阶微积分的应用,才能够对它进行深刻的理解。下面我们就来看一看等时降落问题(Tautochrone problem)。 分数阶微积分的应用——...
这个问题说明了当前情况下分数微积分的主要用例。通常情况下,当我们分析一个系统时我们会碰巧遇到一个数学命题它恰好是一个分数算子因此我们知道我们可以把分数算子的规则应用到那个系统上。 结论 在数学和科学领域取得发现的最好方法之一,就是...
分数阶微积分是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分，如对函数求1/2阶导数。例如：对x^n求1/2阶导数：首先对x^n求1阶导数后为nx^(n-1)。2阶导数后为n(n-1)x^(n-2)。那么m<n时，m阶导数后为n(n-1)(n-2)..(n-m+1)x^(n-m)，也就是n!/(n-m)!导函数 如果...
可变阶微积分 Variable Order calculus 当阶数o(x)是变量时, 它是可变阶导数微分。 dcos(x)dxcos(x)dcos(x)dxcos(x) sin(x) = d(sin(x),x,cos(x)) 这个动画展示了不同分数微分算子D如何操作在 y=x(o(x)=0阶, 蓝色),结果(分数阶, 绿色)在一般的积分(o(x)= -1阶, y=x^2/2 ,...
定义阶 Riemann-Liouville 分数阶积分定义: 定义阶 Riemann-Liouville 分数阶导数定义: 定义阶 Caputo 分数阶导数定义: 定义阶 Grünwald-Letnikov分数阶导数定义: 对于Riemann-Liouville 分数阶积分, 用符号表示, 但通常为了方便处理, 也用来表示, 这样处理可以使推导更加明了。