向量的范数为一个实函数 。向量范数也满足三条性质(非负性,齐次性,三角不等式)。非负和三角不等式需要强调一下: 非负性: 。齐次性这里不是重点。 三角不等式: 。 仔细琢磨非负性的后半句话:它阐述的是:向量x的范数为0当且仅当x是零向量。 三、内积和范数的关系 线性空间包含向量空间,但,向量空间却不完...
内积与范数、度量的关系 首先,内积总是可以导出范数。具体来说,如果 是内积空间,而 由如下定义, 那么 是 上的范数。然后,利用范数与度量之间的关系,内积也可以进一步导出度量。 由于每个内积都可以根据公式 导出范数,因此很自然地要问相反的情况是否也成立呢? 也就是说,对于空间 上的每个向量范数 ,是否存在 上相...
在看张贤达矩阵分析时,矩阵内积和范数之间的关系这一块书里没有详细说明,故写本文章补充。 对于矩阵 A∈Cm×n ,其Frobenius范数定义为: ||A||F=(∑i=1m∑j=1n|aij|2)12 Frobenius内积定义为: ⟨A,B⟩F=∑j=1m∑i=1nAij∗Bij 因为 tr(AHB)=∑i=1n(AHB)ii=∑i=1n∑k=1mAikHBki=∑i...
平面向量极化恒等式是联系内积与范数的一个重要的等式，是用范数表示内积的公式。对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x，y)也分别有类似于上述的恒等式。平面向量极化恒等式的推导：当H是实空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2)；当h是复空间时，(x...
在深入探讨矩阵分析时，矩阵内积与Frobenius范数之间的关系是至关重要的。对此，让我们从基础定义出发，逐步揭开二者之间的紧密联系。首先，对矩阵 A，其Frobenius范数定义为所有元素平方和的平方根，即 ||A||_F = sqrt(∑_{i,j} a_{ij}^2)。其次，Frobenius内积定义为矩阵元素间按位置相乘的和，...
对一个n维向量，可以认为它的2范数就是它的长度，但是这只是表现在公式上的形式，长度还是定义在内积的...
这表明Frobenius范数和Frobenius积在矩阵进行缩放操作时具有相应的线性变换性质。 综上所述,Frobenius范数和Frobenius积是矩阵理论中两个重要的概念,它们之间存在着密切的关系。Frobenius范数可以通过计算Frobenius积的平方根来求得,而Frobenius范数和Frobenius积都具有正定性、三角不等式和缩放性质等共同的性质。这些性质使得Fro...
我把内积和范数的关系..1. 范数的理解"正定" ||x|| >= 0, ||x||=0 iff x=0"齐次" ||kx|| = |k| ||x||"三角不等式&qu