学习笔记：内积、投影与矩阵特征值 一、内积 定义：内积是线性代数中向量空间的一种运算，用于衡量两个向量之间的某种“相似度”或“角度”。 正交：当两个向量的内积为零时，称这两个向量正交。正交集中的向量线性独立，即它们之间不存在线性关系。 范数：范数是对向量空间中任意向量长度的定义，它满足...
称V 为内积空间(Inner Product Space)。 下文中,我们定义内积为对两个 Rn 向量x,y 的如下运算: ⟨x,y⟩=xTy=x1y1+x2y2+⋯+xnyn 正交(Orthogonal) 如果两个向量 x,y∈Rn 满足⟨x,y⟩=0 ,那么称这两个向量正交,记作 x⊥y . 定理:如果两向量正交,那么它们线性独立。 证明:假设 x⊥y ,...
2.1 ◇ 内积的性质 在希尔伯特空间H中，若两个向量x和y满足(x,y)=0，则称它们正交，记为x⊥y。正交向量之间满足勾股定理：||x+y||^2等于||x||^2加上||y||^2。此外，若向量x与H的子集M中的每个元素都正交，则称x与M正交，记为x⊥M。所有与M正交的元素的集合称为M的正交补集，记为M寑。2...
在内积空间中,我们可以利用向量的投影来进行向量的近似表示和问题的简化。投影可以将一个向量分解成两个正交向量的和,其中一个向量是原向量在另一个向量上的投影,另一个向量是原向量与投影正交的部分。 投影的计算公式为:projv(w) = < w, v > / ||v||^2 * v。其中,projv(w)表示向量w在向量v上的投...
也叫投影。一个投影长度乘以一个另一个长度，结果是一个标量(无方向)。点积就是求功。
线性代数中，内积空间是具有内积运算的向量空间，定义内积为向量之间的运算。正交表示两个向量内积为零，正交集中的向量线性独立。正交补定义为与特定子空间正交的向量集合。范数是对向量空间中任意向量的长度定义，满足柯西不等式。投影则是向量在特定方向上的“影子”，与投影定理相联系。矩阵的列向量集合看...
内积、投影与矩阵特征值是线性代数中的重要概念，它们在几何和代数中紧密关联，有助于深入理解向量空间的性质。本文将通过实例和定理，介绍内积空间的定义、正交向量和子空间的关系，以及投影的几何意义。特征值和特征向量则揭示了矩阵变换的伸缩性质，并通过特征多项式讨论了可对角化的条件。内积空间的定义是...
1. Proj_W(x) ∈ W,即正交投影的结果在子空间W中。 2.向量x - Proj_W(x)与W上的所有向量正交,即内积⟨x - Proj_W(x), w⟩ = 0,对于任意w ∈ W成立。 正交投影可以通过Gram-Schmidt正交化过程来计算,该过程利用内积的性质将原向量组转化为一个正交基,然后再利用线性组合计算投影。 四、总结 ...
则称 是在 上的(正交)投影,或在 上的投影分量。 注1 是在 上的(正交)投影,或在 上的投影分量。 注2一般说来,对于内积空间 的任意向量 以及任意子空间 ,在 上的投影并不一定存在。 注3若 在 上有投影,则投影必定是唯一的。 定理5.2.1设 是内积空间 的线性子空间, .若是在 上的投影,则 , (5.2....
内积不是投影，而是一个矩形的面积。见下图。其几何意义是先将一个向量投影到另一个，用这个投影后的...