此外, \ln \cos x; \ln \sin x; \dfrac{\sin x}{x} ; \ln \dfrac{\sin x}{x}; \ln \dfrac{\tan x}{x} 和其他三角函数也可以用伯努利数表示。 黎曼Zeta函数 伯努利数最强大的应用之一是对黎曼zeta函数的计算。 令k 为实数, |k|\geqslant 1 , 那么实数上的黎曼zeta函数 \zeta(k) 被定义...
伯努利数作为数学领域的闪耀之星，深深地嵌入到数学的各个角落。它们的定义、递推公式以及与代数学、数论和特殊函数的关联，都呈现出伯努利数在数学研究中的重要性和广泛应用。通过本文的介绍，相信读者对伯努利数的了解将更加全面，也希望能激发读者对数学的兴趣和好奇心，进一步探索数学的奥秘。想了解更多精彩内容，快...
伯努利数(Bernoulli Numbers)伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数.设伯努利数为B(n),它的定义为:t/(e^t-1)=∑[B(n)*(t^n)/(n!)](n:0->∞)这里|t|=1时,有B(2n+1)=0;n>=2时,有公式B(n)=∑[C(k,n)*B(k)](k:0->n)可用来逐一计算伯努利数.伯努利数在数论中很有...
,又大概知道了所有偶数列的规律,第三列系数的规律是 ,Bernoulli猜测自然数等幂和按降次幂排列的第n列取决于该列第一个数,后来人们将这些数命名为伯努利数(Bernoulli numbers),这里将第n个伯努利数记为 ,且 。 有了递推公式,计算前几个伯努利数,分别是: SUST数学学院 图文| ...
伯努利数 一.伯努利公式 伯努利数是一个用于解决nn次方和的数列。 它的递归定义公式如下: n∑i=0(n+1i)Bi=[n=0](1.1)∑i=0n(n+1i)Bi=[n=0](1.1) 通过这个定义可以得到伯努利数的前几项:1,−12,16,0...1,−12,16,0... 令Sm(n)=∑n−1i=0imSm(n)=∑i=0n−1im,伯努利通过...
可以看出 \text B_n(0)=\text B_n ,伯努利多项式是伯努利数的推广。 一样地,先给出前几个伯努利多项式: \begin{align} &\text B_0(t)=1\\ &\text B_1(t)=t-\frac{1}{2}\\ &\text B_2(t)=t^2-t+\frac{1}{6}\\ &\text B_3(t)=t^3-\frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2}t\\...
伯努利数(Bernoulli number) 设B0=1,当k>0时,定义 这些Bi(i=0, 1,…, k)被称为伯努利数。按定义,自然得出:B1=-,B2=,B3=0,B4=-,B5=0,B6=,B7=0,B8=-,…。伯努利数是瑞士数学家雅各布·伯努利引入的数,出自于他的著作《猜度术》(1713)。除了B1外,当k为奇数时,Bk=0;当k为偶数时,B2, B6, ...
称为伯努利数。上面运用公式时, 即把一个参与运算的k次方替换成不参与运算的下标k。数学既有严谨性,又有灵活性。我还是第一次见到这么聪明的公式。 那么伯努利数是怎么得到的呢?考虑以e为底的指数函数的泰勒展开式: (取x=1,则当n→∞时,上式便无限趋近于...
伯努利数最先由雅各·伯努利研究,棣莫弗以他来命名。 伯努利数可以由下列递推公式计算: , 初值条件为 B0 = 1。 伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是 x/(ex 对所有绝对值小于 2π 的 x(幂指数的收敛半径),有 − 1), 使得 。 有时会写成小写 bn,以便与贝尔数分别开。 最初几项...