二次互反律是数论中的一个重要定理,其形式为: 对于互异的奇素数 p,q ,有如下等式成立(其中 (⋅) 表示勒让德符号) (pq)=(−1)(p−1)(q−1)4(qp) 本文简要介绍一下二次互反律的两种证明方法。 一、利用三角变换 首先证明下面的引理: (Gauss引理)设 p 为奇素数,则设 1⋅a,2⋅a,⋯...
二次互反律: p,q 为互素奇素数,则 (\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}} 证明: (\frac{p}{q})\equiv p^{\frac{q-1}{2}}=((-1)^{\frac{p-1}{2}}G^2)^{\frac{q-1}{2}}=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}…
二次互反律的证明 用数学归纳法证明二次互反律,令n为正整数。 对任意n,设Sn表示一系列根据二次互反律定义的数: S_n={1,2,3,...,n} 证明:当n=1时,显然,只有一个元素1,满足条件: 1+1=2 假设当n=k时结论是正确的,即 a+b=k(a,b∈s_n) 当n=k+1时,显然存在一组a和b,其中a∈s_k,b...
勒让德符号在二次互反律证明中起到了关键作用。前两种证明方法都基于证明两个引理：首先，证明（2/p）的值为（-1）^（（p^2-1）/8），其次，证明（d/p）的值等于（-1）^（∑[jd/p]），其中求和是对j从1到（p-1）/2的范围。这两个引理一旦被证明，二次互反律就能顺利推导出来。第三...
二次互反律证明 Proof: LetSn(a)=∑x1+⋯+xn≡a(∏xip)Sn(a)=∑x1+⋯+xn≡a(∏xip). Fora≠0a≠0,S2(a)=S2(1)S2(a)=S2(1).S2(1)=∑x≠0(x(1−x)p)=∑x≠0(x−2x(1−x)p)=∑x≠0(x−1p)=−(−1p)S2(1)=∑x≠0(x(1−x)p)=∑x≠0(x−2x(1−x...
二次互反律：是不同的奇素数，则。证明（Eisenstein）：首先证明。其中。令为中全部元素，同时令且。考虑所有，当为偶数时为偶数，当为奇数时，，因此有。简化得到。根据的定义可知，，由可知，，因此有。由可知，，要证明二次互反律，只需证明。其中，。对，点集的个数。对，点集的个数。令，...
最难系列：二次互反律证明之三 续上一篇：二次互反律中的-1次幂依赖于排列组合的性质，让我们继续上一篇，进一步阐述这个美妙的证明方法 在这里蓝色和红色的证明是相同的，因为互换P和Q的角色就相当于互换行，因此实际上只有这两个等式要证明，现在要开始了 证明依赖于排列的符号的某些性质，在这里并不给出具体...
有一个数学将将二次互反律的证明改造成了一个纸牌的戏法，整个过程真的是很神奇，在这里首先向你解释公式中-1的幂，它被解释成一种发牌的奇怪方式，公式中的P和Q引导我们使用一摞PXQ的纸牌，为了便于理解，我们使素数P和Q分别等于5和3，所以我们将处理一摞共15张牌，都是正面朝上，从上到下依次编号为1到...
用Frobenius映射，证明如下：具体应用为：用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外...
马克思·艾森斯坦对二次互反律的证明 首先，马克思·艾森斯坦提出了这样一个引理：引理设p是奇素数，a...