Roth定理是代数数的丢番图逼近的一个基本结果。它属于定性类型,指出代数数不能有许多“非常好”的有理数逼近。因此,如果一个数可以很好地被有理数逼近,那么它一定是超越的。Roth对这一事实的证明也解决了Siegel的一个猜想,即每个无理代数数 x 都满足 \left| x - \frac{p}{q} \right| > \frac{C(x, \var
丢番图逼近:证明一个实数的前 k 个倍数中的某一个一定更接近某个整数 —— 数论中一个很重要的部分称为丢番图逼近,它正是研究这类问题的。 2. 定理 1.2(鸽笼原理 / 抽屉原理):如果把 k + 1 个或者更多的物体放入 k 个盒子中,那么至少有一个盒子中有两个或者更多的物体。 证明: 3. 定理 1.3 (狄...
首先是Dirichlet定理，它给出了任意实数（无论是有理数还是无理数）都可以用有理数进行逼近的精度下限。Dirichlet定理表明，对于任意正整数N和任意实数α，总存在整数p和q（q≤N），使得|α-p/q|≤1/(Nq)。这个定理为丢番图逼近提供了基本的精度保障。另一个重要的定理是Roth定理，它进一步强化了Dirichlet定理...
这个问题之所以被称为丢番图逼近,是因为它与丢番图方程(不定方程)有密切的关系。在求解这类问题时,常常需要找到满足特定不等式的整数解,而这些方程在整数范围内求解时就被称为丢番图方程。 丢番图逼近的核心问题是:对于给定的一个实数x,用分母不大于q_0(q_0属于自然数集N)的有理数p/q来逼近x可以达到什么...
由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程,因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。 1842年,P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q,满足两个不等式:1≤q≤Q和|αq-p|≤Q-1。由此可得,如果α是任意无理数,那么存在无穷...
用代数数逼近代数数,也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》(1980)一书中,有详细的论述。 自20世纪以来,丢番图逼近除自身的发展外,在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。 连分数-正文 繁分数 叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是...
丢番图逼近是数论的一个分支，主要研究实数、复数、代数数或超越数的有理逼近问题，即寻找满足特定不等式的整数解。1842年，狄利克雷的贡献表明，对于任意实数α和正实数Q，存在整数对(p, q)满足1≤q≤Q和|αq-p|≤Q，无理数α对应的解有无穷多对且互素。胡尔维茨在1891年的研究中，对某些无...
Hermann Weyl的贡献在于证明了这与指数和的上界相关，反映了丢番图逼近与解析数论中误差项估计的普遍联系。在Roth定理之后，丢番图逼近的主要进展主要围绕超越理论展开。均匀分布反映了分布的不规则性，本质上是组合学问题。例如，勒特伍德猜想是丢番图逼近领域中一个未解决的简单而引人关注的问题。
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丢番图逼近 1 丢番图逼近 数论的一个分支, 以研究数的有理逼近问题为主。 这里所谓的数是指实数、 复数、 代数数或超越数。 数的有理逼近问题, 可表为求某种不等式的整数解问题。 由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程, 因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。 1842 年, P. G....