一般函数都可以从有理函数用级数展开式来构造，这个事实使得有理函数在魏尔斯特拉斯的方法里起了关键作用，早在1841年魏尔斯特拉斯就确认了一致收敛性的重要。一致收敛和逐点收敛的区别，在魏尔斯特拉斯的讲义里面十分清楚。关于级数的收敛性，他和柯西一样，是指部分和序列的收敛，但是收敛性现在要这样来陈述：在变...
魏尔斯特拉斯的方法有两个非常重要的主题:一是在极限过程中、消除了运动的概念;二是函数特别是复变量函数的表示。这两个主题是密切相关的。在极限的非运动的定义中,对现在称为实直线和复平面的拓扑学的研究至关重要,在其中我们有了极限点的概念,有了局部和整体的明确的区别。魏尔斯特拉斯研究的中心对象是函数(...
他也发展了函数类,即利用幂级数表示,从有理函数开始来建立起函数类。这样,按照魏尔斯特拉斯的方法,多项式(称为整有理函数)被推广为"具有整数特性的函数",就是其幂级数展开式处处收敛的函数。魏尔斯特拉斯的因子定理断言,任意这种函数...
魏尔斯特拉斯函数图,b值从0.1到5变化。 类似地,他还造出了使狄利克雷原理失败的函数的例子,还有"自然边界",即继续拓展级数到更大的区域去的障碍、等等。他鼓励做细心的区分,以及他寻求病态而非常态的例子的过程本身,聚焦到使得分析中的假设的精确性到了前所未有的程度。从1880 年代以后,随着这个方法的时尚,分析...
病态的函数(一) 原文在微信公众号《雨辰高数新讲》 数学当中有一些函数,看起来很不直观,思考起来也很麻烦。有一些函数简直就是直接颠覆自己的认知。是我病了还是它病了?我只能说它病了。哈哈哈,所以叫它“病态函数”吧。 不过,这些病态的函数确实有一些良好的性质,还可以作为反例(一些病态函数就是为了作为反例...
n=5,得到的答案是f(333.33)=0.2187,而精确解f(1000/3)=22/9=2.4...差之甚远.这种函数才称为病态函数.如果按上面几位的理解,所有非初等函数也应称为病态函数,因为它们不能用我们当时熟悉的初等函数表示,连续,可导是两个不同概念,连续处处不可导函数在当时熟悉的函数中很难找到,不能因为这...
除了Dirichlet函数之外，还有其他类型的病态函数。这些函数通常具有“不良好”的性质，例如处处连续但处处不可导。最著名的例子是Weierstrass函数，它由一个无穷级数定义。想象一下，Weierstrass函数就像是连续的锯齿状折线，但其锯齿的大小是无限小的，几乎无法察觉。病态函数这一术语并不仅仅局限于连续但不可导...
病态的函数(二) 说魏尔斯特拉斯函数之前,我们不得不提一下这个伟大的数学家。他在分析学中所做的贡献非常大。我们学的数列极限的ε-N语言就是由他提出的,还有一致收敛理论等等。他在分析的严格化过程中功绩卓著。被誉为“现代分析之父”。 那么今天的魏尔斯特拉斯函数得的是什么病呢?这个病还是比较特殊的。
病态函数图像 “病态函数”图像 v函数在其极值点附近未必单调v函数f(x)=-x2(2+Sin[1/x])在零点取极大值，但是在极值 点x=0两侧的任意邻域都不可能单调 0.10 0.05 0.005 0.05 0.10 0.010 0.015 0.020 0.025 单调吗？不单调吗？0.030 你说呢？“病态函数”图像 v在任何一个区间上不单调的...