(b)这个正特征值有对应的正特征向量。 接下来的两个定理证明了定理3.2中的正特征值等于矩阵的谱半径。定理3.3:假设A \geq 0 不可约, B \in \mathbb{C}^{n \times n} 且|B| \leq A ,那么 \rho(B) \leq \bar{r}, \bar{r} 的定义见(3.2)。
假设 \rho(A) 是B \in \mathbb{R}^{(n-1)\times(n-1)} 的特征值,取相应的特征向量 \zeta = (\zeta_{2}, \dots, \zeta_{n})^{\top} \in \mathbb{C}^{n-1} \setminus \{ 0_{n-1} \} ,则 u = \sum_{k=2}^{n} \zeta_{k} v_{k} 适合Au = AS \begin{pmatrix} 0 \...
Perron-Frobenius定理是关于非负矩阵特征值的一个重要定理。它指出,对于一个非负不可约矩阵,存在一个正的特征值(称为Frobenius根),且这个特征值对应一个正的特征向量。此外,这个特征值是矩阵的谱半径,并且是矩阵的单特征值(即对应的特征子空间维度为1)。 这个定理在多个领域都有广泛的应用,包括随机过程、图论和数...
【数学专业考研】中国科学院大学2023高等代数-解析|多项式|整数根|公共特征值与特征向量|保角变换与共形映射 2.4万 4 04:38 App 今年985和211一定会扩招,张雪峰太敢说了 4016 0 31:47 App 【数学专业考研】南开大学2023年高等代数-真题解析|多项式|行列式|向量组与线性方程组|二次型|直和分解定理 360 0 02...
第一步:存在一个非负的特征向量 $\mathbf{v}_0$,对应于模最大的特征值 $\lambda_0$。 由于$A$ 是非负矩阵,所以其所有的特征值都是实数。令 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值中模最大的那个。我们先证明 $\lambda_0$ 是正的,然后再构造对应的非负特征向量。 接下来,我们考虑如何构造对应于 $\lambda...
引言 Perron-Frobenius定理揭示了非负矩阵中蕴含的深刻性质，其核心在于最大特征值的探讨。这一理论不仅涉及非负矩阵的谱半径，还深入剖析了不可约矩阵的特征向量特性。非负矩阵的世界 定理1.1: 当我们面对一个非负矩阵 A 时，其谱半径 ρ(A) 作为特征值的必然存在，同时伴随着一个非负特征向量，且...
数学家们关于Perron-Frobenius定理的大量文献,引起了数理经济学家们的广泛注意。投入产出模型中因为系数矩阵的特性,使该定理对于投入产出数理性质的分析能够提供重要的分析工具。 Perron-Frobenius定理的核心内容如下: 如果A是一个不可约非负方阵,则A总有正的特征值λ*(A),它是特征方程的单根,称为A的Perron-...
它意味着,如果一个非负矩阵的全部特征值都大于0,那么,它的每个特征值都必须大于或等于它的特征向量的2范数的平方。2范数的平方是指特征向量中的每一项的平方和的平方根。这个定理对很多算法有重要的意义,特别是对机器学习来说。比如,在机器学习中,我们经常使用非负矩阵来表示一个系统,而Péron–Frobenius定理可以用...
接下来要证明结论是公式是矩阵的单特征值，即对应的特征子空间维度为1。引理3.5指出，若公式是不可约矩阵的一个非负特征对，则公式。定理3.5通过引理3.4和定理3.5证明了不可约矩阵有唯一的正特征值，且有对应的唯一的正特征向量。定理3.6通过证明非负不可约矩阵的谱半径是单特征值，进一步确认...
佩伦-弗罗比尼乌斯定理(Perron-Frobenius Theorem)是一项数学定理,它是指对于一个非负矩阵,其最大特征值是唯一的,而且对应的特征向量可以被选成非负的。 该定理最早由德国数学家佩伦(Oskar Perron)于1907年提出,后来由瑞士数学家弗罗比尼乌斯(Ferdinand Georg Frobenius)于1912年证明。它在矩阵论、线性代数、概率论、...