本文约定下凸函数(下文称之为 convex )指凸性形如下图 convex(愚蠢知乎不能缩放) 即 f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1) +(1-\lambda)f(x_2)\\ 其中\lambda\in(0,1) . 离散型证明 对于一个定义在 \mathbb{R} 上的convex的函数 f(x) , 有 Jensen 不等式 \sum_{i...
kl散度 凸函数 证明 KL散度(Kullback-Leibler divergence)是衡量两个概率分布之间差异的一种度量方法。对于两个离散概率分布P和Q,它们的KL散度定义为: D(P||Q) = Σ(P(x) * log(P(x)/Q(x))) 其中,x表示样本点,P(x)和Q(x)分别表示P和Q在样本点x处的概率。 凸函数(Convex function)是指定义在...
凸(凹) 函数与线性函数的复合依然是凸 (凹) 函数。 我们现对信息测度的凸/凹性进行研究。首先所有有共同支撑集的概率分布函数构成了一个凸集,这是显然的;特别地,如果是有限集 \mathcal{X} 的概率测度,那么以 p_X 为参数的函数可以视作以 p_X(x_1),p_X(x_2),\ldots,p_X(x_n) 的函数,其中 n...
尽可能高效的编码,那么我们平均需要多少额外的信息量来描述x呢。这称为相对熵,或者kl divergence。 利用凸函数的不等式性质(也利用了离散求和推广到连续积分)可以证明 因此KL表征了两个分布之间的关系,a measure of dissimilariy of p and q表示两个分布不相同的程度 来自<http://www.cnblogs.com/rocketfan/archi...
由于-log(u)是凸函数,因此有下面的不等式 DKL(Q||P) = -∑x∈XQ(x)log[P(x)/Q(x)] = E[-logP(x)/Q(x)] ≥ -logE[P(x)/Q(x)] = -log∑x∈XQ(x)P(x)/Q(x) = 0 即KL-divergence始终是大于等于0的。当且仅当两分布相同时,KL-divergence等于0。
交叉熵:H(p,q)=−∑xp(x)logq(x) 相对熵:KL(p∥q)=−∑xp(x)logq(x)p(x) 相对熵(relative entropy)也叫 KL 散度(KL divergence); 用来度量两分布之间的不相似性(dissimilarity); 通过交叉熵的定义,连接三者: H(p,q)===−∑xp(x)logq(x)−∑xp(x)logp(x)−∑xp(x)logq(x)p...
的估计,我们当然希望二者越近越好,而二者的接近程度用KL divergence来刻画: . 其中第二个等号右边第一项与要估的参数无关,所以要使KL divergence最小,只需要让 最大即可。 的empirical version可以写为: . 目标函数 中并不含有reference sample,但是reference sample并非无用,而是被用作constraint. ...
关于估计 k2为何有低偏差有一个很好的原因:其期望是一个 f-散度(divergence)。一个 f-散度 被定义为关于一个凸函数 f,Df(p,q)=Ex∼q[f(p(x)q(x))]。KL 散度和其他有名的概率距离均是 f-散度。现在这是关键的难以被发现的事实:所有具有可微函数 f的f-散度与 KL 散度当 q接近p时的二阶。也就...
为何有低偏差有一个很好的原因:其期望是一个f-散度(divergence)。一个f-散度被定义为关于一个凸函数 , 。KL 散度和其他有名的概率距离均是 -散度。现在这是关键的难以被发现的事实:所有具有可微函数 的 -散度与 散度当 接近 时的二阶。也就是说,对一个参数化分布 ...
KL-Divergence iid 假设X1,X2,,Xn～q(x)，概率密度函数可能为p0(x)或p1(x)，统计检测的目的是选择一个pi(x)，对q(x)近似估计。似然比函数为 pxH1 n = p1(xi)pxH0i1p0(xi)归一化对数似然比为 ˆn :1log n 1n ni1 log p1(xi)H1 p0(xi)H0 由于xi是独立同分布随机变量，Li log p1(xi)...