(1)R>1 ,级数收敛; (2)R<1 ,级数发散; (3)R=1 ,级数可能收敛也可能发散。正项级数与无穷积分的敛散等价性 无穷积分 \int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx.若极限存在,则称函数在该区间上的无穷积分收敛,并将上述极限值定义为无穷积分的值; ...
级数收敛: 若A为有限值,则级数收敛,此时A=limn→∞An为有限值。 级数发散: 若A为无限值,或者根本没有和,则称级数发散。也就是说部分和极限为无穷或者不存在。 说明: 级数敛散性问题可直接转换为部分和序列的极限问题。 任何序列也可以转换为级数:x=xn为序列,转换为级数x1+(x2−x1)+(x3+x2)+⋯+(x...
判断数列的敛散性有柯西 (Cauchy) 审敛原理,无穷级数敛散性的判断中也有类似结果。相比定义法判断极限存在性,利用这一方法,我们无需知道级数的和,而直接从相邻项得出结论。让我们用一个例子练练手吧! 三、数项级数性质 接下来看看数项级数的基本性质...
. 若若1| x, , 则则 0111lim nnx, , 若若1| x, , 则则 1111limlim nnnnnnxxaa 最最后后, ,若若1 x, ,则则 21 nu, ,发发散散. . 所所以以级级数数的的收收敛敛范范围围为为1| x. . 例例8 8解解|1x ,1 所以级数发散;所以级数发散;故级数绝对收敛;故级数绝对收敛;69小结小结正正 项...
而1-x的a次方麦克劳林公式就是数学中的一把利器,它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。 我们来看看这个公式的形式:1-x的a次方麦克劳林公式可以表示为一个无穷级数的形式,即: 1-x^a = 1 - a*x + (a*(a-1)*x^2)/2! - (a*(a-1)*(a-2)*x^3)/3! + ... 这个公式看起来可能有些...
其中,1-x的a次方麦克劳林公式是将函数(1-x)^a展开成幂级数的形式,其中a是一个实数。 在我们的日常生活中,我们往往会遇到各种各样的函数,而麦克劳林公式则提供了一种非常有用的方法,可以将这些复杂的函数近似表示为简单的无穷级数。这种近似的表示方法在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。 通过麦克劳林公式,...
二、 交错级数及其审敛法任意项级数审敛法1nn u先讨论先讨论一种特殊的任意项级数—交错级数种特殊的任意项级数交错级数其中 un可正可负可为0,称为任意项级数。各项正负交错的级数称为交错级数。nnuuuuu14321) 1(定义:如:...
11高等数学第11章无穷级数教案1
误差为|Rn(x)|。如果函数f(x)在含有x0的某开区间(a,b)内各阶导数都存在,则Pn(x)的项可无限增加而得一幂级数:幂级数(3)称为函数f(x)的泰勒级数。第32页,共69页,2023年,2月20日,星期六问题:1)此级数是否收敛?2)若收敛,和函数是否为f(x)?设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,...
如果常数项级数$sum_{n=1}^{infty}u_n$的部分和数列${S_n}$有极限，即$lim_{ntoinfty}S_n=S$，则称该级数收敛于$S$。发散 如果常数项级数$sum_{n=1}^{infty}u_n$不满足收敛条件，即部分和数列${S_n}$没有极限，则称该级数发散。基本性质与运算规则 结合律 交换律 常数项级数的加法和乘法...