魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。闭区间上周期为 的连续函数可用三角函数级数一致逼近。证明 第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。第二逼近定理的证明；设f(t)为周期为 的连续函数，定义 为一三角级数。首先证明 ，为一个正交函数系：(因为 )。 故令 ，于是我们可以...
魏尔斯特拉斯逼近定理与龙格逼近定理(Runge's approximation theorem) Sawyer 想成为一块有纹路的大理石 46 人赞同了该文章 封面:孙燕姿我们首先回忆一下在数学分析中非常重要的Weierstrass逼近定理,这个定理主要阐述了闭区间上的连续函数一定可以被多项式进行一致逼近,即...
魏尔斯特拉斯逼近定理 魏尔斯特拉斯谒近定理 设/是有界闭区间并假定函数f.IfR是连续的，则对每个正数£,存在多项式 P：RfR使得 对所有XG/,丫(x)-p(X】<£(*)考虑对每个自然数〃及任一数X.£c抨(1)1=1,*=0 t~cy(i-A-r=x,⑵ *=0〃以及如果n>2,£学肚J(l-x尸=』⑶ *=0〃(〃一1...
魏尔斯特拉斯逼近定理是一个非常有用的逼近定理,可以帮助我们求解一些比较复杂的函数的积分。魏尔斯特拉斯逼近定理的本质是基于傅里叶级数的思想,是利用一组函数来逼近我们所需要的函数。 魏尔斯特拉斯逼近定理的原理是,对于任意一个连续的函数f(x),都可以用一组三角多项式序列来逼近。这个序列的形式是:∑(n=0,∞...
11.2:魏尔斯特拉斯逼近定理和阿尔采拉-阿斯科利定理 不厚道的开始了幂级数(虽然代码还没打到这里 设函数在上连续,且证明: 为证明,可证明:,这个请读者自证,注意到连续 由第一逼近定理可知:存在多项式,有: 我们不妨记:当然也可以写成其他形式,自己注意就好,所以有:现进行积分,注意到题目条件且,,所以有:所以, ...
Theorem.闭区间上的连续函数可以用多项式序列一致逼近。 Proof.这里我们直接找出一列多项式序列就好。取伯恩斯坦多项式Bn(x)=∑k=1n(nk)xk(1−x)n−kf(kn)。 则我们有Bn(0)=f(0),Bn(1)=f(1)。所以我们考虑里面的逼近就好了。构想一个伯努利实验,成功率为x,n次实验成功次数为μn,则Bn(X)=E(f(μ...
序列逼近的研究:魏尔斯特拉斯是序列逼近的先驱之一。他研究了幂级数的性质和逼近性质,并致力于发展序列逼近的理论。逼近定理是他在这一领域的重要成果之一。 连续函数的逼近问题:魏尔斯特拉斯对于连续函数的逼近问题感兴趣。他想要证明,对于任意一个连续函数,是否存在一组多项式函数可以以任意精度逼近它。这种连续函数的...
基本定理 魏尔斯特拉斯逼近定理有两个: 1.闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。 2.闭区间上周期为2π的连续函数可用三角函数级数一致逼近。证明第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。第二逼近定理的证明;由f(t)的一致连续性,可以证明,上式在时,满足一致收敛的条件,故我们可以用fr(t)来一致逼近f(t)...
2.是偶函数的充要条件是 我们只证明第一问,第二问不证自明: 为证明为奇函数,可证明: 模仿上一题,根据逼近定理有,记: 所以: 注意到因为是多项式,所以为阶数只含偶数项的多项式,所以: , 余项极限为0,所以: ,为奇函数 1.设在上连续,,且证明:在上恒等于一常数; ...