这是泛函分析学习笔记的最后部分,我们将介绍共轭空间、自反空间、共轭算子,以及弱收敛、 ∗ 弱收敛等定义,及其相关定理. 本章节将大量使用之前的定理和结论,一大波补给来袭. 补给箱 陈泽光:泛函分析学习笔记 I:线性算子108 赞同 · 10 评论文章 陈泽光:泛函分析学习笔记 II:Riesz 定理79 赞同 · 7 评论文章...
4.1.2 自反空间 前面提到, 一般而言, 并且即便是 Banach 空间也不能保证取到等号, 可以如果等号确实成立, 则我们就真真正正可以将和看作是一个东西了, 因为它们等距线性同构, 在已有的结构上都是同构的(保线性结构、保度量结构、保范数结构、保拓扑结...
自反空间 共轭空间 对K 上赋范线性空间 X , 所有 X 上的有界线性泛函自然构成一个赋范线性空间 B(X,K) , 由定理2.2.4, 这是一个Banach空间. 定义6.1.1 B(X,K) 称为X 的共轭空间(dual space), 记为 X∗ . 注记 在线性代数中我们学过, 一个线性空间上的所有线性函数自然构成一个线性空间,...
定义4.1.4(自反空间): 设 是Banach 空间, 为自然嵌入, 若 , 则称 为自反空间(reflexive space). 需要注意的是, 自反空间强调要通过自然嵌入实现 和 的等距线性同构, 那么如果 和 等距线性同构, 那么是否就意味着 自反呢? 答案是否定的, 但是反例不好给, 因此我们就不管了, 毕竟也用不到. 根据定...
自反Banach空间的弱紧性核心结论是：自反Banach空间中的有界闭集在弱拓扑下是紧的。这一结论可通过Banach-Alaoglu定理推导。Banach-Alaoglu定理指出，Banach空间X的闭单位球在X的弱拓扑下是紧的（弱拓扑由X中的元素生成，即对x∈X，泛函列fα弱收敛到f当且仅当fα(x)→f(x)）。当X自反时，X=X（通过自然嵌入...
【题目】设X为Banach 空间,且X*自反,求证:X也为自反空间。 答案 【解析】设X*自反,假定空间X不自反,即J(X)=X为X*的真闭子空间(这是因为J是X到X上的等距同构映射,且X完备,因此X。为闭的)。由HahnBanach 定理推论3.3.1必3x*∈X***,满足x**=1,且x**(x**)=0x*∈J(X)因J1(X*)=X**,故x...
设$$ X ^ { * } $$自反,假定Banach空间X不自反,即 $$ J ( X ) = X _ { 0 } $$为 $$ X ^ { \ast \ast } $$的真闭子空间(这是因为J是X到$$ X $$ 上的等距同构映射,且X完备,因此 $$ X _ { 0 } $$为闭的)。由Hahn -Banach 定理推论3.3.1必∃ $$ x _ { 0 } ^ {...
一个自反空间的闭子空间也是自反空间。 证明:设X是一个自反空间,Y是X的一个闭子空间。我们需要证明Y也是自反空间。考虑一个满足条件的实线性泛函f: Y\rightarrow \mathbb{R}。由于f是X中的线性泛函,我们考虑在X中找到一个对应的泛函。 由于X是自反空间,对于任意的x\in X,x的极小包含球\text{ball}(x)是...
自共轭空间:如果一个赋范线性空间 X 的共轭空间 X^* 就是自己,也就是 X^*=X ,则称 X 是自共轭空间。 自反空间: X 是赋范空间, X^* 是X 的共轭空间,而 X^* 也是赋范空间,因此有共轭空间,记为 X^{**} ,很显然有 X^{**}=(X^*)^* ,它称为 X 的第二共轭空间,如果 X=X^{**} ,就...
我们在前一讲已经定义过自反空间,当 X 自反时,自然嵌入映射 J : X → X ∗∗ 是到上 的等 距映射 , X 与 X ∗∗ 等距同 构. James 曾经 给出 过例子 :一个 Banach 空间 X 与其二 次共轭 空间 X ∗∗ 等距同 构, 而自 然嵌入 映射 J 却不是 相应 的到上 的等 距映射 ,于 是...