只有强对偶性成立的时候,拉格朗日对偶问题的最优解才等于原问题最优解。好在,对于线性规划问题,强对偶性总是成立的,我们会在后文中说明。 关于非凸优化的拉格朗日对偶方法,读者可参考弱对偶定理 设问题 (P) 和(D) 如定义。容易得到下面的结论: 引理:设 \bm{x},\bm{y} 分别是 (P) 和(D) 的可行解,...
这个故事告诉我们,线性规划对偶的本质就是minimaxi问题中min和max的交换。 对偶性作为最优化理论中最核心的一个概念之一,旨在用两种不同的眼光去看待一个最优化问题。在每一个最大化问题的背后都隐藏着一个最小化问题,在每一个最小化问题的背后都隐藏着一个最大化问题。由对偶性的概念所引出的一系列结论构成了...
利用线性规划对偶性理论，我们能够从不同维度理解问题，寻找最优解，并在复杂环境中作出明智决策。这一理论不仅限于经济学与工程学，还广泛应用于优化问题的解决，为各行各业提供决策支持。总之，通过线性规划与对偶性理论，我们不仅能够解决实际生产中的资源分配与决策问题，还能深入理解问题的本质，从多角...
1从 reduced cost 出发导出线性规划对偶问题如果是以往接触过线性规划的同学,或多或少肯定接触过对偶问题。那么头一次接触到对偶问题的时候,总会感觉到对偶问题出现地非常突兀,往往是不知道为什么就来突然要定…
1 对偶单纯型法在上一节笔记中我们研究了线性规划问题的对偶问题,并且我们根据强对偶定理可知,线性规划问题的原问题和对偶问题是等价的。这就自然而然让我们产生一个想法就是我们可以通过求解对偶问题来达到求解…
定理1: 对偶线性规划的对偶问题是原线性规划; 定理2: 若线性规划问题的第K个约束条件是等式,则其对偶问题中第K个变量无非负约束,反之亦然 若线性规问题的第K个变量无非负约束,则其对偶问题中的第K个约束条件是等式 对偶问题的基本性质 线性规划的对偶问题的性质 性质1.弱对偶性 (LP){maxz=CXs.t.{...
将该问题称为对偶线性规划问题,也称为对偶问题,记为(D,Dual)。该模型解决的问题是,如何进行资源最小化定价(竞争性原则),使得资源售卖的收益不低于自己生产所获的最大生产收益(不吃亏原则)。 这里我们仔细观察一下资源出租模型,第一条约束是讲售卖4单位木工工时和2单位油漆工时的收益要大于50,50刚好是生产一张桌...
即,原问题和对偶问题的最优目标函数值相等。 事实上,这并不是特例,只是线性规划对偶问题的性质之一。 对偶问题定义和性质 定义 上一章的实例让我们对对偶问题有了一些直观的认知,本节通过一些偏理论的推导,来研究清楚线性规划中对偶问题和原问题之间具有怎样的关系和性质。 回顾一下线性规划的标准型 min \quad f...
定理 6.3（强对偶定理）如果一个线性规划问题有最优解，则其对偶问题也有最优解，且二者最优目标函数...
我们将形式化这一思想,并在定理 29.4 中证明,如果一个线性规划及其对偶线性规划是可行的且有界的,那么其对偶线性规划的最优值总是等于原始线性规划的最优值。我们从证明弱对偶性(weak duality)开始,它表明原始线性规划的任意一个可行解的值都不大于对偶线性规划的任意一个可行解的值。