在第三篇中,我们得到了等幂求和公式 设Sk=0k+1k+2k+⋯+(n−1)k 则Sk=(B+n)k+1−Bk+1k+1 又有伯努利多项式的导数公式 ddx(B+x)k+1=(k+1)(B+x)k 于是我们可以把求和公式写作积分形式 设f(x)=xk ,则 ∑x=0n−1f(x)=∫0nf(x+B)dx 若把f(x) 换成任意解析函数,该式便...
初值条件为B0= 1,B1= 1/2。更一般的是情况是求和表达式中的i为等差数列的前部分项,此时等幂求和公式为:
等幂求和公式 设S_k=0^k+1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k (你可能会觉得这里的 0^k 很多余,但看到后面你就会知道这个 0^k 其实很有用) 递推公式 令a_n=n^{k+1} ,取其差分 \Delta a_n=(n+1)^{k+1}-n^{k+1} 将(n+1)^{k+1} 二项式展开,得 \begin{align} \Delta a_n&=\left...
等幂求和公式常有的:1+2+...+n=n(n+1)/2,1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6, 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2。 幂(power)是指数运算的结果。当 m 为正整数时,n 指该式意义为 m 个 n 相乘。当 m 为小数时,m 可以写成 a/b(其中 a、b 为整数),n 表示 n 再开 ...
1、所有公式都有n, n+1这两项;如果是偶数幂求和,则还有n+1/2这一项 。 2、各个因子关于-1/2对称分布。 下面证明规律2,规律1给大家自己思考。 首先把n推广到负数: 所以 把乘积形式的求和公式代入,得到 所以规律2得证。 利用这两条规律,可以比较容易的写出一些较高阶等幂和的乘积表达式,比伯努利多项式简单...
之前一直在站里看到很多UP主在探讨这么一个求和公式: 并且都在试图将其转化为一个以n为自变量的多项式: 三个简单的例子 由上图我们发现,任意长的累加式子转化成了短短几项n的幂的有理数倍的和,这不大大减小了计算的繁杂程度了么?而且似乎n的幂的这些系数还具有某些规律,所以我们的最终目的就是解决在任意指数k...
「学习笔记」等次幂求和(伯努利数) 求∑ni=1ik∑i=1nik 定义B0=1=1 且有∑k(k+1i)0∑i=0k(k+1i)Bk=0 伯努利数的递推式 Bi=−1(k+1i)i−1∑j=0(k+1j)BjBi=−1(k+1i)∑j=0i−1(k+1j)Bj 求和公式 n∑i=1ik=1k+1k+1∑j=0(k+1j)Bk+1−j(n+1)i∑i=1nik=1k+...
等幂求和伯努利数是以雅各布 ⋅⋅ 伯努利的名字命名的,我们记Sm(n)=n−1∑k=0kmSm(n)=∑k=0n−1km伯努利 暴力 算出了前几项,并进行了观察:S0(n)=nS1(n)=12n2−12nS2(n)=13n3−12n2+16nS3(n)=14n4−12n3+14n2+0nS4(n)=15n5−12n4+13n3+0n2−130nS5(n)=16n6−12n5...
关于自然数等幂求和的..在想另一个问题的时候发现的,容易递推,不涉及伯努利数,组合数等东西,感觉还是蛮有用的。不过估计几百年前就有这个结论了,想找一些有没有视频或者文章来看一下更严密的证明?