矩阵的奇异值分解(singular value decomposition,简称SVD)是线性代数中很重要的内容,通常,给定一个大小为的矩阵,奇异值分解的形式为 其中,矩阵的大小分别为,矩阵是由左奇异向量(left singular vector)构成的,矩阵是由右奇异向量(right singular vector)构成的,矩阵对角线上的元素称为奇异值(singular value),这一分解...
张量与矩阵的模态积则涉及到张量和矩阵在不同模式下的“组合”，如张量[公式]与矩阵[公式]的[公式]模态积，其结果大小为[公式]。最后，高阶奇异值分解（HOSVD）是张量分解的核心，它是矩阵奇异值分解的推广，如大小为[公式]的张量[公式]的HOSVD形式为[公式]，展示了张量分解在降维处理中的潜力。
浅谈张量分解(二):张量分解的数学基础近年来,张量分解技术在诸多领域得到了很好的应用,这里将介绍张量分解所需要的一些数学基础,主要包括常见的Kronecker积、Khatri-Rao积、向量的外积、内积、F-范数以及张量与矩阵相乘的运算规则等。 Kronecker积在张量计算中非常常见,是衔接矩阵计算和张量计算的桥梁,实际上,Kronecker积...
围绕这两点疑问,我们来讨论一下容易混淆的外积、Kronecker积和张量积。 1 Kronecker积 在之前的浅谈张量分解(二):张量分解的数学基础一文中,我们已经知道了Kronecker积的运算规则,给定一个大小为m1×m2的矩阵A和一个大小为n1×n2的矩阵B,则矩阵A和矩阵B的Kronecker积为 ...
应用数学论坛 报告安排 报告题目:张量分解算法浅谈 报告人:唐少强教授 报告时间:6月12日(星期三)16:00~17:00 报告地点:校本部教二楼323室 报告摘要 张量分解/广义正交分解基于分离变量形式的模态来逼近函数,与矩阵的奇异值分解有着密切联系。以此求解偏微分方程...
张量(二):张量分解(tensor decomposition) 与矩阵分解一样,我们希望通过张量分解去提取原数据中所隐藏的信息或主要成分。当前主流的张量分解方法有CP分解,Tucker分解,t-SVD分解等,更新的方法大多是在他们的基础上做进一步的改进或引用。因此,张量分解也是张量算法的基础。下面分别做介绍。 一、CP分解 CP分解是将任意高...
在这里,为方便书写,记作A_i=\boldsymbol{b}_i^T\odot V^T\in\mathbb{R}^{r\times n},符号\odot表示Khatri-Rao积(运算规则可参考浅谈张量分解(二):张量分解的数学基础一文),\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{b}_i\in\mathbb{R}^{n}均为列向量。
(element-wise multiplication),若大小均为n_1 \times n_2 \times n_3的张量\mathcal{B}和\mathcal{C}进行点乘,即\mathcal{A}=\mathcal{B} \ast \mathcal{C},则a_{ijk}=b_{ijk} \cdot c_{ijk};运算符“\odot ”表示Khatri-Rao积,其定义可参考前面的浅谈张量分解(二):张量分解的数学基础...
即张量{\mathcal{ X}}F-范数的平方等于其所有元素的平方和,正是这样,很多涉及到矩阵分解或张量分解的优化问题中常常会出现残差矩阵的平方和最小化或是残差张量的平方和最小化,目标函数也多以相应的残差矩阵或残差张量的F-范数的平方形式进行书写。 6 张量的展开(unfolding) 在实际应用中,由于高阶张量比向量、矩...
即张量{\mathcal{ X}}F-范数的平方等于其所有元素的平方和,正是这样,很多涉及到矩阵分解或张量分解的优化问题中常常会出现残差矩阵的平方和最小化或是残差张量的平方和最小化,目标函数也多以相应的残差矩阵或残差张量的F-范数的平方形式进行书写。 6 张量的展开(unfolding) 在实际应用中,由于高阶张量比向量、矩...