欧拉恒等式是:eiπ+1=0 其中e是自然指数的底,i是虚数单位,π是圆周率。 这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction,它是复分析的欧拉公式特例。 对于任意实数x,则有e^{ix}=cosx+isinx 令x=π代入上式,则可得出欧拉恒等式。 在欧拉公式中,虚数i占有特殊的地位,认识这个公式就需先从i开始: 虚数i大家在高中接触过,
一分钟带你熟悉欧拉公式(画图简单明了)我们知道欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx，其中e是自然对数的底，i是虚数单位。被誉为“数学中的天桥”，因为这个公式将三角函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，在很多地方应用很广泛，比如前面介绍的傅里叶变换。既然...
两个复数a+ib,c+id,他们相乘有如下: (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad) 下面主要看看乘法的几何含义,对于复数z我们知道iz时把它逆时针旋转90度,那么对于一般的复数A呢我们把z变成Az是一种什么样的变换呢。这里我们以A=4+3i为例。那么Az=4z+3iz,4z是把z伸缩4倍,3iz是吧z逆时针旋转90度在伸缩...
这样就可以说得通了:在一单位时间内,把1变到 i,我们应该旋转π/2 弧度(90度角)。 这个解释了底,但是对于指数呢? 它告诉我们改变增长率要以π·i/2的速度进行旋转, 计算得: i 被消去了,增长率又变为了实数!我们把增长率转到了一个负值。这意味着我们在减...
e^ix的泰勒级数是cos(x)和i*sin(x)的组合如果我们看一下替换项，我们可以看到，橙色的是cos(x)的泰勒级数，蓝色的是sin(x)乘以i的泰勒级数。因此：欧拉公式证明!好了，不好意思，这道数学题太难了，现在，我们来看看它的解释。欧拉公式的几何解释 为了理解这个公式的解释，我们必须还原复平面。通过查看此图...
已知这个向量的夹角为φ,那么这个向量可以用cosφ+i*sinφ表示,这也是我们常见的复数表示方式,实部加虚部。 这个向量也可以用另一个更简洁的式子表示,即e^(iφ)表示,注意这是个复数,也就是欧拉公式: e^(iφ)=cosφ+i*sinφ 在我们专业,弧度φ一般写成角频率ω乘以时间t,所以欧拉公式也可以写成:e^(iωt...
欧拉公式是一条与自然对数的底数e、虚数单位i和圆周率π有关的公式，形式化地表达为：e^(iπ) + 1 = 0 这个公式将三个基本数学常量联系在了一起。它由瑞士数学家欧拉在18世纪发现并证明。欧拉公式不仅具有数学上的意义，而且在电路分析、信号处理、量子力学等领域都有着广泛的应用。2. 欧拉公式的证明 欧拉...
2-1、虚数单位i 虚数单位i的定义:i定义为-1的开方,即i的平方就是-1。 2-2、欧拉公式的定义 欧拉公式如下: 欧拉是通过泰勒公式推出欧拉公式的: 进一步推导: 2-3、欧拉公式的描述 图看起来有些抽象?只要看成是我们喜闻乐见的形式a+bi就好了,a对应的是余弦,b对应的是正弦,随着角度的变化而不断变化。即欧...
欧拉公式这个恒等式叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1;以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式...
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到: e^i∏+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超数:自然对数的底e,圆周率∏,两个单位:虚数单位i和自然数...