和函数:∑n=0∞xn,即x的0次方到无穷次方的和。 收敛域:x∈(−1,1),即x的取值范围在-1到1之间(不包括-1和1)。 2. 幂级数 ex 和函数:∑n=0∞xnn!,即x的n次方除以n的阶乘的和。 收敛域:x∈R,即x可以取实数范围内的任何值。 3. 幂级数 cosx 和函数:∑n=...
\displaystyle f'(x)=x\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}x^{2n}\right]=xg(x).对g(x) 逐项积分可得 \displaystyle \int_0^x g(t)dt=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n+1}=x\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}...
6、指数函数公式：幂级数的和函数可以表示为指数函数的形式，即f（x）=e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...。7、三角函数公式：幂级数的和函数可以表示为三角函数的形式，即f（x）=sin（x）=x-x^3/3!+x^5/5!-...+（-1）^（n-1）x^（2n-1）/（2n-1）!+...。...
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。 四、含阶乘因子的幂级数(1)分解法:将幂级数一般项进行分解等恒等变形,利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数,分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数。
最佳答案 因为R=limn→∞|anan+1|=limn→∞2n+12(n+1)+1=1,且幂级数∞∑n=0(2n+1)xn在x=±1处发散,所以幂级数的收敛域为:(-1,1).设所求和函数为S(x).则S(x)=∞∑n=0(2n+1)xn=2x∞∑n=1nxn−1+∞∑n=0xn=2x∞∑n=1(xn)′+∞∑n=0xn=2x(∞∑n=1xn)′+∞∑...
设所求和函数为S(x). 则S(x)=∑n=0∞(2n+1)xn=2x∑n=1∞nxn−1+∑n=0∞xn=2x∑n=1∞(xn)′+∑n=0∞xn=2x(∑n=1∞xn)′+∑n=0∞xn=2x(x1−x)′+11−x=2x(1−x)2+11−x=1+x(1−x)2. 故答案为:1+x(1−x)2(|x|<1).反馈...
∞ n=0xn= 2x( x 1−x)′+ 1 1−x= 2x (1−x)2+ 1 1−x= 1+x (1−x)2.故答案为: 1+x (1−x)2(|x|<1). 注意到 ∞ n=0(2n+1)xn = 2x ∞ n=1nxn−1+ ∞ n=0xn,以及nxn-1=(xn)′,利用幂级数的逐项可微性质即可得到和函数的表达式. ...
(1)∑n=0∞x2n=∑n=0∞(x2)n=11−x2;(2)∑n=0∞(12)n+1(−x)3n=12∑n=0∞(...
常用幂级数的和函数可以分为三类: 1. 正弦幂级数:$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 2. 余弦幂级数:$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ 3. 指数幂级数:$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} $...
且幂级数∑limits _(n=0)^∞(2n+1)x^n在x=± 1处发散, 所以幂级数的收敛域为:(-1,1). 设所求和函数为S(x). 则S(x) =∑limits _(n=0)^∞(2n+1)x^n =2x∑limits _(n=1)^∞nx^(n-1)+∞ ∑ n =0x^n =2x∑limits _(n=1)^∞(x^n)'+∞ ∑ n=0x^n ...