布朗运动、伊藤引理、BS 公式(前篇) 对量化投资感兴趣的人大概都听说过的 Black-Scholes 期权定价公式(又称 Black-Scholes-Merton 公式,下称 BS 公式)。它大概是将数学中随机过程(stochastic process)的概念运用到实际金融产品中的最著名的一个例子。美国华尔街的 Quant 职位面试中更是无一例外的会问到 BS 公式...
这是布朗运动的一个非常重要的性质。 布朗运动的二次变分公式也可以写作如下所示的无穷小量(infinitesimal difference)的形式: 码了这么多的字来解释二次变分,当然不是为了用它说明布朗运动的波动太频繁;在本文第六节可以看到,二次变分在推导伊藤引理时有非常重要的意义。 5 用几何布朗运动描述股价 前文介绍了标准...
布朗运动、伊藤引理、BS 公式(前篇) 1 引言 对量化投资感兴趣的人大概都听说过的 Black-Scholes 期权定价公式(又称 Black-Scholes-Merton 公式,下称 BS 公式)。它大概是将数学中随机过程(stochastic process)的概念运用到实际金融产品中的最著名的一个例子。美国华尔街的 Quant 职位面试中更是无一例外的会问到 B...
美国华尔街的 Quant 职位面试中更是无一例外的会问到 BS 公式及其引申出来的相关问题,足见其地位。然而黑天鹅之父纳西姆·塔雷伯(Nassim Nicholas Taleb,以《黑天鹅效应》一书闻名于世)却对它嗤之以鼻,更是写过一篇题为 Why we have never used the Black-Scholes-Merton option pricing formula(为什么我们从来...
布朗运动的二次变分公式也可以写作如下所示的无穷小量(infinitesimal difference)的形式: 码了这么多的字来解释二次变分,当然不是为了用它说明布朗运动的波动太频繁;在本文第六节可以看到,二次变分在推导伊藤引理时有非常重要的意义。 5 用几何布朗运动描述股价 ...
布朗运动、伊藤引理、BS 公式(前篇) 布朗运动、伊藤引理、BS 公式(后篇) 首先讲一下布朗运动在金融里的应用吧,这个东西至少要被人广为接受才能作为一项理论的基础。这就是Black-Scholes期权定价公式(又称 Black-Scholes-Merton 公式,下称 BS 公式) 石川大佬评价说:BS 公式仅仅是一结果,是随机分析(stochastic calc...
6 Black-Scholes 期权定价公式 欧式看涨期权在行权日 T 的期望价值为 E[max(S(T) – K, 0)],其中 S(T) 为股票在 T 时刻的价格,K 为行权价。股价 S 满足对数正态分布,在风险中性定价理论下,S 的期望收益率为无风险收益率 r,且期权的折现率也等于无风险收益率 r。因此,期权在当前时刻的价格 C 为...
作为本系列的后篇,本文将从扩展伊藤引理出发,并用它求解几何布朗运动,然后推导 BS 微分方程以及 BS 公式(也称 Black-Scholes-Merton 公式)。在介绍 BS 公式时,论述的重点会放在衍生品定价中的一个核心方法,即风险中性定价理论。此外,我们会花一定的笔墨来解释 BS 公式中的两个核心要素(即 N(d_1) 和 N(d_...
根据期权的实际交易价格,可以利用 BS 公式反推出标的波动率 σ ,称为隐含波动率,这往往代表着市场对于标的资产风险的普遍观点。隐含波动率最有名的应用大概是芝加哥交易所针对标普 500 指数,利用未来 30 天的看涨和看跌期权计算的 VIX 指标,又称为恐慌指数。它被投资者广泛参考。 7 小结 和本系列前篇一样,再次...
布朗运动、伊藤引理、BS公式(后篇) 1 前文回顾 本系列的前篇从布朗运动出发,介绍了布朗运动的性质并解释了为什么使用几何布朗运动来描述股价是被投资界广泛接受的。此外,前文给出了伊藤引理的最基本形式,它是随机分析的基础,为分析衍生品定价提供了坚实的武器。 作为本系列的后篇,本文将从扩展伊藤引理出发,并用它...